Esboce o campo de direções das seguintes equações:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para ajudar a esboçar o campo de direções para três equações diferenciais. O campo de direções é tipo um mapa que mostra como as soluções dessas equações se comportam em cada ponto do plano. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como calcular as inclinações (ou derivadas) em diferentes pontos. Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
a) $ y^{\prime} = 2y - 1 $
Primeiro, vamos analisar a equação $ y^{\prime} = 2y - 1 $. Aqui, a derivada de y em relação a x depende apenas de y. Isso simplifica as coisas porque a inclinação em cada ponto depende somente do valor de y naquele ponto.
Para esboçar o campo de direções:
- Escolha alguns valores para y, por exemplo, y = 0, y = 0.5, y = 1, y = 1.5, etc.
- Calcule $ y^{\prime} $ para cada valor de y usando a equação $ y^{\prime} = 2y - 1 $.
- Se y = 0: $ y^{\prime} = 2(0) - 1 = -1 $
- Se y = 0.5: $ y^{\prime} = 2(0.5) - 1 = 0 $
- Se y = 1: $ y^{\prime} = 2(1) - 1 = 1 $
- Se y = 1.5: $ y^{\prime} = 2(1.5) - 1 = 2 $
- Em cada ponto (x, y) escolhido, desenhe uma pequena linha com a inclinação calculada.
Isso te dá uma ideia de como as soluções se comportam para diferentes valores de y.
Passo 3
b) $ y^{\prime} = \frac{x}{y} $
Agora, vamos para a equação $ y^{\prime} = \frac{x}{y} $. Aqui, a derivada de y depende tanto de x quanto de y, então precisamos considerar diferentes combinações desses valores.
Para esboçar o campo de direções:
- Escolha uma grade de pontos no plano xy, por exemplo, (1,1), (1,2), (2,1), (-1,1), etc.
- Para cada ponto, calcule $ y^{\prime} = \frac{x}{y} $.
- Por exemplo, em (2,1): $ y^{\prime} = \frac{2}{1} = 2 $
- Em (-1,1): $ y^{\prime} = \frac{-1}{1} = -1 $
- Lembre-se de que y não pode ser zero, pois dividir por zero não é definido.
- Desenhe uma pequena linha com a inclinação correspondente em cada ponto válido.
Isso ajuda a visualizar como as soluções variam com ambos x e y.
Passo 4
c) $ y^{\prime} = y(2 - y) $
Por fim, temos a equação $ y^{\prime} = y(2 - y) $. Essa é uma equação diferencial logística simples, onde a derivada de y depende de y de uma maneira mais complexa.
Para esboçar o campo de direções:
- Escolha alguns valores para y, por exemplo, y = 0, y = 1, y = 2, y = 3, etc.
- Calcule $ y^{\prime} $ para cada valor de y usando a equação $ y^{\prime} = y(2 - y) $.
- Se y = 0: $ y^{\prime} = 0(2 - 0) = 0 $
- Se y = 1: $ y^{\prime} = 1(2 - 1) = 1 $
- Se y = 2: $ y^{\prime} = 2(2 - 2) = 0 $
- Se y = 3: $ y^{\prime} = 3(2 - 3) = -3 $
- Em cada ponto (x, y) da grade, desenhe a linha com a inclinação calculada.
Nesse caso, você verá que quando y está entre 0 e 2, a inclinação é positiva, e quando y é maior que 2, a inclinação é negativa, indicando que as soluções tendem a se estabilizar em y = 2.
Resposta
Pronto! Agora você tem uma ideia de como esboçar os campos de direções para cada uma das equações dadas, entendendo como calcular e representar as inclinações em diferentes pontos do plano. Boa sorte nos seus estudos!