Esboce o campo vetorial desenhando alguns vetores representativos que não se intersectem. Os vetores não precisam estar em escala, mas devem estar em proporção razoavelmente correta entre si.
\mathbf{F}(x, y)=y \mathbf{i}-x \mathbf{j}. [Nota: Cada vetor do campo é perpendicular ao vetor posição \mathbf{r}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}.]

Passo 1

O enunciado pede o esboço do campo vetorial
F(x,y)=y,i-x,j
no plano xy, desenhando alguns vetores representativos que não se intersectem. O conteúdo é interpretação geométrica de campos vetoriais em R^2 e uso de pontos estratégicos para capturar o comportamento global.

Passo 2

Escolhemos pontos de fácil visualização e simetria: os quatro pontos cardeais (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) e quatro pontos diagonais (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). Assim cobrimos o comportamento tangencial ao redor da origem.

Passo 3

Calculamos F em cada ponto:
F(1,0)=(0,-1), F(0,1)=(1,0), F(-1,0)=(0,1), F(0,-1)=(-1,0),
F(1,1)=(1,-1), F(-1,1)=(1,1), F(-1,-1)=(-1,1), F(1,-1)=(-1,-1)
Nos cardeais o módulo é 1, nos diagonais é raiz2.

Passo 4

Observamos que F(x,y)perp (x,y); logo as setas são tangentes às circunferências centradas na origem. A orientação é horário, pois em (1,0) o vetor aponta para baixo.

Passo 5

Para esboçar:
– No ponto (1,0), desenhe uma seta vertical para baixo (módulo 1).
– Em (0,1), seta horizontal para a direita (módulo 1).
– Em (-1,0), seta para cima; em (0,-1), seta para a esquerda.
– Em (1,1), seta para sudeste com comprimento um pouco maior ( raiz2).
– Em (-1,1), mapa para sudoeste; em (-1,-1), para noroeste; em (1,-1), para nordeste; todos com módulo raiz2.
Mantenha as setas proporcionais aos comprimentos calculados e evite que elas se cruzem, espaçando os pontos um pouco.

Resposta

No esboço final, as setas formam linhas de nível circulares (tangentes aos círculos de centro na origem) com orientação horário. Especificamente:
(1,0): \downarrow\ (módulo 1)
(0,1): \to\ (módulo 1)
(-1,0): \uparrow\ (módulo 1)
(0,-1): \leftarrow\ (módulo 1)
(1,1): \searrow\ (módulo raiz2)
(-1,1): \swarrow\ (módulo raiz2)
(-1,-1): \nwarrow\ (módulo raiz2)
(1,-1): \nearrow\ (módulo raiz2)

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