Esboce o campo vetorial F.
F(x, y)=y i+(x+y) j

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos o campo vetorial F(x,y)=y,i+(x+y),j. O conteúdo aqui é visualização de campos vetoriais em R^2. Para resolver, precisamos entender como as componentes de F variam com x e y e então desenhar vetores em pontos representativos.

Passo 2

Cada vetor do campo em (x,y) tem componente horizontal Fx=y e vertical Fy=x+y. Isso significa que a direção e o comprimento mudam conforme x e y. Em particular, a componente horizontal depende só de y, e a vertical é soma de x com y.

Passo 3

Vamos analisar pontos-chave: na origem (0,0) temos (0,0), vetor nulo; sobre o eixo x ( y=0) temos vetores $ (0, x)$ apontando verticalmente para cima se (0, x) e para baixo se x>0; sobre o eixo x<0 ( y) temos x=0, ou seja vetores a (y,y) com magnitude crescente conforme 45^circ.

Passo 4

Agora, em cada quadrante escolhemos um ponto típico: por exemplo, em (1,1) F=(1,2) (aponta para nordeste e é maior), em (-1,1) (1,0) (aponta para leste), em (-1,-1) (-1,-2) (sudoeste), em (1,-1) (-1,0) (oeste). Assim vemos rotação no sentido anti-horário e magnitude cresce ao nos afastarmos da reta x+y=0.

Passo 5

Com esses vetores de amostra e sabendo a variação contínua das componentes, podemos esboçar setas em uma grade: vetores curtos perto de x+y=0, nulos na origem, alongados à medida que |x+y| e |y| crescem, formando um padrão de rotação anti-horária.

Resposta

No esboço qualitativo, em cada ponto (x,y) desenhe o vetor com componente horizontal y e vertical x+y. Assim, sobre o eixo x as setas são verticais, sobre o eixo y são a 45°, e nos quadrantes o campo gira no sentido anti-horário, com tamanho maior quanto maior for |x+y| ou |y|.

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