Suponha que a tela seja representada por um retângulo no plano com vértices e , e a câmera esteja localizada em . Uma reta na cena passa pelos pontos e . Em quais pontos será contada pelos planos cortantes?

Passo 1

O enunciado descreve um plano de projeção (“tela”) dado pelo retângulo do plano com vértices

e a câmera em . O volume de visão é o “cone” (pirâmide) com ápice em passando por esse retângulo, cujos planos cortantes laterais são:
– plano esquerdo (passa por e pela aresta do retângulo),
– plano direito (por e pela aresta ),
– plano inferior (por e pela aresta ),
– plano superior (por e pela aresta ).
A reta passa por
e queremos achar onde cruza esses planos cortantes.

Passo 2

Parametrizamos usando um parâmetro :
isto é

Passo 3

Obtemos as equações dos quatro planos cortantes:
. Plano esquerdo (por , , ):
vetores diretores
e ,
produto vetorial .
Equação:
. Plano direito (por , , ):
normal .
Equação:
. Plano inferior (por , aresta ):
. Plano superior (por , , ):
normal .
Equação:

Passo 4

Calculamos, para cada plano, o valor de tal que esteja nele:
. Interseção com o plano esquerdo :
. Interseção com o plano direito :
. Interseção com o plano inferior :
. Interseção com o plano superior :

Passo 5

Precisamos ver quais desses pontos caem dentro do volume de visão (isto é, satisfazem também as outras desigualdades dos planos e , pois a tela está em e vemos para ):
  • Para ,

    está em e satisfaz todas as outras desigualdades entrada.
  • Para e para
    ou violam ou violam algum outro plano lateral não entram/saem dentro do volume válido.
  • Para ,

    está em e satisfaz todas as demais condições saída.
Logo, a reta entra no volume pelo plano esquerdo e sai pelo plano superior.

Resposta

Entrada em
saída em

Exercícios relacionados