Suponha que a tela seja representada por um retângulo no plano yz com vértices (0, pm 400,0) e (0, pm 400,600), e a câmera esteja localizada em (1000,0,0). Uma reta L na cena passa pelos pontos (230,-285,102) e (860,105,264). Em quais pontos L será contada pelos planos cortantes?

Passo 1

O enunciado descreve um plano de projeção (“tela”) dado pelo retângulo do plano x=0 com vértices
(0,-400,0),,(0,400,0),,(0,-400,600),,(0,400,600)
e a câmera em C=(1000,0,0). O volume de visão é o “cone” (pirâmide) com ápice em C passando por esse retângulo, cujos planos cortantes laterais são:
– plano esquerdo (passa por C e pela aresta y=-400 do retângulo),
– plano direito (por C e pela aresta y=400),
– plano inferior (por C e pela aresta z=0),
– plano superior (por C e pela aresta z=600).
A reta L passa por
P1=(230,-285,102), P2=(860,105,264)
e queremos achar onde L cruza esses planos cortantes.

Passo 2

Parametrizamos L usando um parâmetro tinR:
P(t)=P1+t,(P2-P1) =(230,-285,102)+t,(630,390,162),
isto é
x(t)=230+630t, y(t)=-285+390t, z(t)=102+162t

Passo 3

Obtemos as equações dos quatro planos cortantes:
1. Plano esquerdo (por C, (0,-400,0), (0,-400,600)):
vetores diretores
,-1000,-400,0 e ,-1000,-400,600,
produto vetorial propto(-4,10,0).
Equação:
2x-5y-2000=0
2. Plano direito (por C, (0,400,0), (0,400,600)):
normal propto(4,10,0).
Equação:
2x+5y-2000=0
3. Plano inferior (por C, aresta z=0):
z=0
4. Plano superior (por C, (0,-400,600), (0,400,600)):
normal propto(3,0,5).
Equação:
3x+5z-3000=0

Passo 4

Calculamos, para cada plano, o valor de t tal que P(t) esteja nele:
1. Interseção com o plano esquerdo 2x-5y-2000=0:
2(230+630t)-5(-285+390t)-2000=0 ;Longrightarrow; trm e=-23138approx -0,1667
2. Interseção com o plano direito 2x+5y-2000=0:
2(230+630t)+5(-285+390t)-2000=0 ;Longrightarrow; trm d=593642approx0,9230
3. Interseção com o plano inferior z=0:
102+162t=0;Longrightarrow; trm inf=-1727approx-0,6296
4. Interseção com o plano superior 3x+5z-3000=0:
3(230+630t)+5(102+162t)-3000=0 ;Longrightarrow; trm sup=23approx0,6667

Passo 5

Precisamos ver quais desses pontos caem dentro do volume de visão (isto é, satisfazem também as outras desigualdades dos planos e x>=0, pois a tela está em x=0 e vemos para x>0):
  • Para trm eapprox-0,1667,
    P(trm e)=(125,,-350,,75)
    está em x>=0 e satisfaz todas as outras desigualdades Rightarrow entrada.
  • Para trm infapprox-0,6296 e para trm dapprox0,9230
    ou violam x>=0 ou violam algum outro plano lateral Rightarrow não entram/saem dentro do volume válido.
  • Para trm supapprox0,6667,
    P(trm sup)=(650,,-25,,210)
    está em x>=0 e satisfaz todas as demais condições Rightarrow saída.
Logo, a reta entra no volume pelo plano esquerdo e sai pelo plano superior.

Resposta

Entrada em
Prm e = l(125,-350,75r),
saída em
Prm s = l(650,-25,210r)

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