Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\operatorname{sen}(\operatorname{tg} \sqrt{\operatorname{sen} x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin\bigl(\tan\bigl(\sqrt{\sin x}\bigr)\bigr)
usando a regra da cadeia. Vamos identificar cada camada de composição e aplicar sucessivamente a derivada da função exterior vezes a derivada do interior.

Passo 2

Defina
u(x)=\tan\bigl(\sqrt{\sin x}\bigr),
de modo que
f(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora derive
u(x)=\tan\bigl(v(x)\bigr),
onde
v(x)=\sqrt{\sin x}.
Como \displaystyle \frac{d}{dv}\tan(v)=\operatorname{sec}^2(v), obtemos
u'(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x).

Passo 4

Considere
v(x)=\sqrt{\sin x}=\bigl(\sin x\bigr)^{1/2}.
A derivada de w^{1/2} em relação a w é \tfrac12w^{-1/2}, logo
v'(x)=\frac12\bigl(\sin x\bigr)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr).

Passo 5

Como \displaystyle \frac{d}{dx}\sin x=\cos x, concluímos
v'(x) =\frac12\bigl(\sin x\bigr)^{-1/2}\cdot\cos x =\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.

Passo 6

Juntando tudo:
f'(x) =\cos\bigl(u(x)\bigr)\;\operatorname{sec}^2\bigl(v(x)\bigr)\;v'(x) =\cos\bigl(\tan(\sqrt{\sin x})\bigr)\;\operatorname{sec}^2\bigl(\sqrt{\sin x}\bigr)\;\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.

Resposta

f'(x) =\frac{\cos\bigl(\tan(\sqrt{\sin x})\bigr)\,\operatorname{sec}^2\bigl(\sqrt{\sin x}\bigr)\,\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.

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