Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) usando a regra da cadeia. Vamos identificar qual é a função externa e qual é a função interna para aplicar a fórmula de derivação composta.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{1}{x}
como a função interna, e
g(u)=\cos(u)
como a função externa. Assim, f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)=-\frac{1}{x^2},
g'(u)=\frac{d}{du}\bigl(\cos(u)\bigr)=-\sin(u).

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\tfrac{1}{x}, g'(u)=-\sin(u) e u'(x)=-\tfrac{1}{x^2}, vem
f'(x)=\bigl[-\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\bigr]\cdot\bigl[-\tfrac{1}{x^2}\bigr] =\frac{\sin\!\bigl(\frac{1}{x}\bigr)}{x^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{\sin\!\bigl(\frac{1}{x}\bigr)}{x^2}.

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