Esboce os campos vetoriais a seguir.
F(x, y)=x^2 i+y^2 j;

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A questão pede para esboçarmos o campo vetorial F(x, y) = x^2 i + y^2 j . Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais, que são representações gráficas que mostram como um vetor varia em cada ponto do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes do campo vetorial. O vetor F(x, y) tem duas partes:
  • A componente na direção i (horizontal) é x^2 .
  • A componente na direção j (vertical) é y^2 .
Ou seja, em cada ponto (x, y) , o vetor aponta na direção horizontal com magnitude x^2 e na direção vertical com magnitude y^2 .

Passo 3

Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano xy e calcular os vetores correspondentes.
Por exemplo:
  • No ponto (1, 1) , F(1,1) = 1^2 i + 1^2 j = i + j .
  • No ponto (2, 0) , F(2,0) = 2^2 i + 0^2 j = 4i .
  • No ponto (0, 3) , F(0,3) = 0^2 i + 3^2 j = 9j .

Passo 4

Vamos plotar esses vetores no gráfico:
  • Em (1,1) , desenhe um vetor que vai de (1,1) para (2,2) .
  • Em (2,0) , desenhe um vetor que vai de (2,0) para (6,0) (porque a magnitude é 4 na direção i ).
  • Em (0,3) , desenhe um vetor que vai de (0,3) para (0,12) (magnitude 9 na direção j ).

Passo 5

Repita esse processo para vários outros pontos no plano xy . Observe que:
  • Quanto maior o valor de x , maior é a componente na direção i .
  • Quanto maior o valor de y , maior é a componente na direção j .
Isso significa que os vetores vão ficando mais longos conforme nos afastamos da origem ao longo dos eixos.

Passo 6

Depois de plotar vários vetores, você verá que o campo vetorial F(x, y) = x^2 i + y^2 j apresenta vetores que se afastam cada vez mais do centro, com direções variando conforme os valores de x e y .

Resposta

O esboço do campo vetorial F(x, y) = x^2 i + y^2 j mostra vetores que se estendem ao longo das direções i e j , aumentando de magnitude conforme x e y aumentam, respectivamente. O gráfico apresenta vetores mais longos à medida que nos afastamos da origem nos eixos x e y .

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