A região plana R é delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y=1+cos (2 x), 0 <= x <= pi / 2. Determine:
a área de R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região R que está limitada pelos eixos coordenados (os eixos x e y ) e pela curva y = 1 + cos(2x) , onde 0 <= x <= pi2 . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta do cálculo para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. A curva y = 1 + cos(2x) oscila entre y = 2 e y = 0 porque o cosseno varia entre -1 e 1. Nos limites dados, x vai de 0 a pi2 , então vamos integrar essa função nesse intervalo para encontrar a área.

Passo 3

A fórmula para calcular a área A sob uma curva y = f(x) entre x = a e x = b é:
A = integrala^b f(x) , dx
Aqui, f(x) = 1 + cos(2x) , a = 0 e b = pi2 . Então, a nossa integral fica:
A = integral0^pi2 (1 + cos(2x)) dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral em duas partes:
A = integral0^pi2 1 , dx + integral0^pi2 cos(2x) , dx
A primeira parte é fácil:
integral 1 , dx = x
A segunda parte, integral cos(2x) , dx , temos que lembrar que a integral de cos(kx) é 1k sin(kx) . Nesse caso, k = 2 , então:
integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x)

Passo 5

Agora, vamos avaliar as integrais nos limites de 0 a pi2 :
A = [ x ]0^pi2 + [ 12 sin(2x) ]0^pi2
Calculando cada parte:
  1. [ x ]0^pi2 = pi2 - 0 = pi2
  2. [ 12 sin(2x) ]0^pi2 = 12 sin(pi) - 12 sin(0) = 12(0) - 12(0) = 0

Passo 6

Somando as duas partes:
A = pi2 + 0 = pi2

Resposta

A área da região R é pi2 unidades de área.

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