A região plana
é delimitada pelos eixos coordenados e pela curva
. Determine:
a área de R
a área de R
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região
que está limitada pelos eixos coordenados (os eixos
e
) e pela curva
, onde
. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta do cálculo para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. A curva
oscila entre
e
porque o cosseno varia entre -1 e 1. Nos limites dados,
vai de 0 a
, então vamos integrar essa função nesse intervalo para encontrar a área.
Passo 3
A fórmula para calcular a área
sob uma curva
entre
e
é:
Aqui,
,
e
. Então, a nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver essa integral em duas partes:
A primeira parte é fácil:
A segunda parte,
, temos que lembrar que a integral de
é
. Nesse caso,
, então:
Passo 5
Agora, vamos avaliar as integrais nos limites de 0 a
:
Calculando cada parte:
Passo 6
Somando as duas partes:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.