Esboce as cônicas descritas pelas equações a seguir:
16 x^{2}+7 y^{2}-96 x-14 y+39=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação da cônica
16x^{2}+7y^{2}-96x-14y+39=0
e pede que a gente identifique e esboce essa curva. O conteúdo envolvido é classificação de cônicas e mudança para a forma canônica via completamento de quadrado.

Passo 2

Agrupamos as partes em x e y e o termo constante:
16\bigl(x^{2}-6x\bigr)\;+\;7\bigl(y^{2}-2y\bigr)\;+\;39=0.
Em seguida, completamos o quadrado em cada grupo:
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9, \qquad y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.

Passo 3

Substituindo no passo anterior:
16\bigl((x-3)^{2}-9\bigr) \;+\; 7\bigl((y-1)^{2}-1\bigr) \;+\;39=0.
Distribuindo:
16(x-3)^{2}-144 \;+\; 7(y-1)^{2}-7 \;+\;39=0 \;\Longrightarrow\; 16(x-3)^{2}+7(y-1)^{2}-112=0.
Logo
16(x-3)^{2}+7(y-1)^{2}=112.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 112, obtemos a forma canônica:
\frac{(x-3)^{2}}{7} \;+\;\frac{(y-1)^{2}}{16}=1.
Como os denominadores são positivos e diferentes, confirmamos que é uma elipse com centro em (3,1).

Passo 5

Das frações na forma canônica tiramos as semi-dimensões:
a=\sqrt{16}=4 \quad(\text{eixo maior vertical}), \qquad b=\sqrt{7}\approx2,65 \quad(\text{eixo menor horizontal}).
Os vértices ficam em (3,\,1\pm4) (3,-3) e (3,5),
e os co-vértices em (3\pm\sqrt{7},\,1) → aproximadamente (0,35,1) e (5,65,1).

Resposta

A curva é uma elipse centrada em (3,1) com semi-eixos a=4 (vertical) e b=\sqrt{7} (horizontal), cuja forma canônica é
\frac{(x-3)^{2}}{7}+\frac{(y-1)^{2}}{16}=1.
O esboço passa pelos pontos (3,-3), (3,5), (3\pm\sqrt7,1).

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