Questão 6. Sejam dados três pontos em \mathbb{E}^{3} : A=(-1,0,1), B=(2,1,2), C=(-3,1,0). É possível determinar um único plano que passe por esses três pontos? Se sim, exprima a equação vetorial, paramétrica e geral deste plano.

Passo 1

Temos três pontos em \mathbb{E}^{3}:
A = (-1,0,1),\quad B = (2,1,2),\quad C = (-3,1,0).
A questão pede verificar se existe um único plano que passe por A, B e C e, em caso afirmativo, encontrar sua forma vetorial, paramétrica e geral. Para isso vamos usar vetores de direção no plano, produto vetorial para achar a normal e depois formular as três equações.

Passo 2

Calculemos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-1),\,1 - 0,\,2 - 1) = (3,\,1,\,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - (-1),\,1 - 0,\,0 - 1) = (-2,\,1,\,-1).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculando:
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 3 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} =(-2,\,1,\,5).
Como \mathbf{n}\neq\mathbf{0}, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são colineares e existe exatamente um plano determinado por A, B e C.

Passo 4

A equação vetorial do plano, usando A como ponto de apoio e \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} como direções, é
\mathbf{r} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Da equação vetorial extraímos a forma paramétrica:
\begin{cases} x = -1 + 3s - 2t,\\\ y = 0 + s + t,\\\ z = 1 + s - t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Para a forma geral (Cartesiana) usamos \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-A)=0. Escrevendo \mathbf{r}=(x,y,z) e A=(-1,0,1),
(-2,\,1,\,5)\cdot\bigl(x+1,\;y-0,\;z-1\bigr)=0
-2(x+1)+1\,(y)+5(z-1)=0
-2x-2+y+5z-5=0
\boxed{2x - y - 5z + 7 = 0}.

Resposta

É possível determinar um único plano.
Equação vetorial:
\mathbf{r}=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Equação paramétrica:
\begin{cases} x=-1+3s-2t,\\\ y=s+t,\\\ z=1+s-t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.
Equação geral:
2x - y - 5z + 7 = 0.

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