Questão 6. Sejam dados três pontos em \mathbb{E}^{3} : A=(-1,0,1), B=(2,1,2), C=(-3,1,0). É possível determinar um único plano que passe por esses três pontos? Se sim, exprima a equação vetorial, paramétrica e geral deste plano.
Passo 1
Temos três pontos em \mathbb{E}^{3}:
A = (-1,0,1),\quad B = (2,1,2),\quad C = (-3,1,0).
A questão pede verificar se existe um único plano que passe por A, B e C e, em caso afirmativo, encontrar sua forma vetorial, paramétrica e geral. Para isso vamos usar vetores de direção no plano, produto vetorial para achar a normal e depois formular as três equações.
Passo 2
Calculemos os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-1),\,1 - 0,\,2 - 1) = (3,\,1,\,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (-3 - (-1),\,1 - 0,\,0 - 1) = (-2,\,1,\,-1).
Passo 3
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculando:
Como \mathbf{n}\neq\mathbf{0}, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são colineares e existe exatamente um plano determinado por A, B e C.
Passo 4
A equação vetorial do plano, usando A como ponto de apoio e \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} como direções, é