Esboce as cônicas descritas pelas equações a seguir:
-16 x^{2}+9 y^{2}+144 x+90 y-63=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
-16x^{2}+9y^{2}+144x+90y-63=0
em que os coeficientes de x^{2} e y^{2} têm sinais opostos, indicando que é uma hipérbole. Para esboçá-la, vamos completar os quadrados em x e em y e escrever na forma padrão de hipérbole.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e isolando a constante:
-16(x^{2}-9x)+9(y^{2}+10y)-63=0.
Agora complete o quadrado em cada grupo:
x^{2}-9x=(x-\tfrac{9}{2})^{2}-\tfrac{81}{4}, \quad y^{2}+10y=(y+5)^{2}-25.
Substituindo,
-16\bigl((x-\tfrac{9}{2})^{2}-\tfrac{81}{4}\bigr) +9\bigl((y+5)^{2}-25\bigr) -63=0.

Passo 3

Distribuindo e somando constantes:
-16(x-\tfrac{9}{2})^{2}+16\cdot\tfrac{81}{4} +9(y+5)^{2}-225-63=0
-16(x-\tfrac{9}{2})^{2}+9(y+5)^{2}+324-288=0
-16(x-\tfrac{9}{2})^{2}+9(y+5)^{2}+36=0 \;\Longrightarrow\; 16(x-\tfrac{9}{2})^{2}-9(y+5)^{2}=36.
Divide por 36 para obter a forma padrão:
\frac{(x-\tfrac{9}{2})^{2}}{\tfrac{36}{16}} -\frac{(y+5)^{2}}{\tfrac{36}{9}}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-\tfrac{9}{2})^{2}}{\tfrac{9}{4}} -\frac{(y+5)^{2}}{4}=1.

Passo 4

Na forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
vemos que o centro é (h,k)=(\tfrac{9}{2},-5),
que
a^{2}=\tfrac{9}{4},\quad a=\tfrac{3}{2}, \quad b^{2}=4,\quad b=2.

Passo 5

Os vértices ficam a uma distância a ao longo do eixo transverso (horizontal), ou seja:
\bigl(h\pm a,\;k\bigr) =\bigl(\tfrac{9}{2}\pm\tfrac{3}{2},\,-5\bigr) \;\Longrightarrow\; (3,-5)\text{ e }(6,-5).

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas por
y-k=\pm\frac{b}{a}\,(x-h) \;\Longrightarrow\; y+5=\pm\frac{2}{\tfrac{3}{2}}\bigl(x-\tfrac{9}{2}\bigr) =\pm\frac{4}{3}\bigl(x-\tfrac{9}{2}\bigr).

Passo 7

Para esboçar, marque o centro (4{,}5,\,-5), desenhe os vértices (3,-5) e (6,-5), trace as retas assíntotas
y+5=\frac{4}{3}\bigl(x-\tfrac{9}{2}\bigr) \quad\text{e}\quad y+5=-\frac{4}{3}\bigl(x-\tfrac{9}{2}\bigr),
e esboce os ramos da hipérbole abrindo-se para a esquerda e para a direita.

Resposta

A cônica é uma hipérbole centrada em \bigl(\tfrac{9}{2},-5\bigr), com
a=\tfrac{3}{2},\quad b=2,\quad \text{vértices em }(3,-5)\text{ e }(6,-5),é
e assíntotas
y+5=\pm\tfrac{4}{3}\bigl(x-\tfrac{9}{2}\bigr).

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