Questão 5. Considere um referencial ortonormal \mathcal{C}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} de \mathbb{E}^{3}.
Determine m de modo que \vec{u}=(1-m,-1,3 m) e \vec{v}=\left(1+m, 2 m, \frac{m}{2}\right) sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede determinar m tal que os vetores \displaystyle \vec{u}=(1-m,\,-1,\,3m)
e \displaystyle \vec{v}=\bigl(1+m,\;2m,\;\tfrac{m}{2}\bigr)
sejam ortogonais em \mathbb{E}^3. Em um referencial ortonormal, isso significa usar o produto escalar e impor \vec{u}\cdot\vec{v}=0.

Passo 2

Calculamos o produto escalar e montamos a equação em m:
\vec{u}\cdot\vec{v} = (1-m)(1+m) + (-1)\,(2m) + (3m)\,\bigl(\tfrac{m}{2}\bigr) = 1 - m^2 - 2m + \frac{3m^2}{2} = 0.

Passo 3

Para eliminar a fração, multiplicamos tudo por 2:
2 - 2m^2 - 4m + 3m^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 - 4m + 2 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
m = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}.

Resposta

m = 2 + \sqrt{2} ou m = 2 - \sqrt{2}.

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