Esboce as cônicas descritas pelas equações a seguir:
25 x^{2}-24 y^{2}+350 x-264 y+649=0.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada por
25x^{2} - 24y^{2} + 350x - 264y + 649 = 0.
O conteúdo é classificação de cônicas e completamento de quadrados para encontrar a forma canônica. Vamos agrupar termos em x e em y e completar quadrados.

Passo 2

Agrupando termos de x e de y,
25\bigl(x^{2} + 14x\bigr)\;-\;24\bigl(y^{2} + 11y\bigr)\;+\;649 = 0.

Passo 3

Completo o quadrado em x.
Em x^{2}+14x, adiciono e subtraio 7^{2}=49:
x^{2} +14x = (x+7)^{2} -49.
Logo,
25\bigl[(x+7)^{2}-49\bigr] = 25(x+7)^{2} - 1225.

Passo 4

Completo o quadrado em y.
Em y^{2}+11y, adiciono e subtraio \bigl(\tfrac{11}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{121}{4}:
y^{2}+11y = \bigl(y+\tfrac{11}{2}\bigr)^{2} - \tfrac{121}{4}.
Então
-24\bigl[(y+\tfrac{11}{2})^{2} - \tfrac{121}{4}\bigr] = -24(y+\tfrac{11}{2})^{2} + 24\cdot\tfrac{121}{4} = -24(y+\tfrac{11}{2})^{2} + 726.

Passo 5

Substituindo de volta,
25(x+7)^{2} -1225 \;-\;24(y+\tfrac{11}{2})^{2} +726 +649 = 0.
Os constantes somam -1225+726+649 =150, então
25(x+7)^{2} -24(y+\tfrac{11}{2})^{2} +150 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 25(x+7)^{2} -24(y+\tfrac{11}{2})^{2} = -150.
Multiplicando por -1,
24(y+\tfrac{11}{2})^{2} -25(x+7)^{2} = 150.
Dividindo por 150,
\frac{(y+\tfrac{11}{2})^{2}}{\tfrac{150}{24}} -\frac{(x+7)^{2}}{\tfrac{150}{25}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y+\tfrac{11}{2})^{2}}{\tfrac{25}{4}} -\frac{(x+7)^{2}}{6} = 1.

Passo 6

Na forma
\frac{(y+11/2)^{2}}{(5/2)^{2}} -\frac{(x+7)^{2}}{(\sqrt{6})^{2}} = 1
vemos que é uma hipérbole com eixo transverso vertical.
Centro C = (-7,\,-\tfrac{11}{2}), a = \tfrac{5}{2}, b = \sqrt{6}.
Vértices em
\Bigl(-7,\,-\tfrac{11}{2} \pm \tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 7

As assíntotas de uma hipérbole nesta orientação são
y + \tfrac{11}{2} = \pm \frac{a}{b}\,(x+7) = \pm \frac{\tfrac{5}{2}}{\sqrt{6}}\,(x+7) = \pm \frac{5\sqrt{6}}{12}\,(x+7).

Resposta

A curva é uma hipérbole centralizada em C(-7,-\tfrac{11}{2}), com forma canônica
\frac{(y+11/2)^{2}}{(5/2)^{2}} -\frac{(x+7)^{2}}{6} = 1,
vértices em \bigl(-7,-\tfrac{11}{2}\pm\tfrac{5}{2}\bigr) e assíntotas
y + \tfrac{11}{2} = \pm \frac{5\sqrt{6}}{12}\,(x+7).

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