Esboce as cônicas descritas pelas equações a seguir:
21 x^{2}+25 y^{2}+462 x-200 y+2416=0.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da cônica dada por
21x^{2} + 25y^{2} + 462x - 200y + 2416 = 0.
O objetivo é classificar a curva (elipse, parábola ou hipérbole) e obter sua forma padrão completando quadrados nos termos de x e y.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e isolamos a constante:
21x^{2} + 462x + 25y^{2} - 200y + 2416 = 0
21\bigl(x^{2} + 22x\bigr) + 25\bigl(y^{2} - 8y\bigr) + 2416 = 0.
Agora completamos o quadrado em cada parêntese:
x^{2} + 22x = (x + 11)^{2} - 121, \quad y^{2} - 8y = (y - 4)^{2} - 16.

Passo 3

Substituindo de volta e simplificando:
21\bigl((x+11)^{2} - 121\bigr) + 25\bigl((y-4)^{2} - 16\bigr) + 2416 = 0,
21(x+11)^{2} - 21\cdot121 + 25(y-4)^{2} - 25\cdot16 + 2416 = 0,
21(x+11)^{2} + 25(y-4)^{2} - (2541 + 400 - 2416) = 0,
21(x+11)^{2} + 25(y-4)^{2} - 525 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 21(x+11)^{2} + 25(y-4)^{2} = 525.
Dividindo por 525 obtemos a forma canônica:
\frac{(x+11)^{2}}{25} \;+\;\frac{(y-4)^{2}}{21} \;=\;1.

Passo 4

Como ambos os denominadores são positivos, trata-se de uma elipse.
Centro: (-11,4).
Semi-eixo maior a = \sqrt{25} = 5 (direção x),
semi-eixo menor b = \sqrt{21} (direção y).
O foco fica a uma distância
c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 21} = 2
do centro ao longo do eixo maior. Logo os focos são (-11\pm2,\,4): (-9,4) e (-13,4).

Passo 5

Para esboçar a elipse basta:
— marcar o centro em (-11,4);
— marcar os vértices em (-11\pm5,\,4), isto é, (-6,4) e (-16,4);
— marcar os co-vértices em (-11,\,4\pm\sqrt{21});
— traçar suavemente a curva que passa por esses pontos, com eixo maior paralelo ao eixo x.

Resposta

\frac{(x+11)^{2}}{25} \;+\;\frac{(y-4)^{2}}{21} = 1.
Centro (-11,4), semi-eixos a=5, b=\sqrt{21}, focos em (-9,4) e (-13,4).

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