Resolva as EDOs:
1+yx+y^prime ln x=0.

Passo 1

A EDO dada é 1 + yx + y' ln x = 0. Isso é uma equação de primeira ordem e linear em y. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, isolemos y' e escrevamos a EDO na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Dividindo tudo por ln x (supondo x>0 e ln xneq0) obtém-se:
y' + 1xln x,y = -1ln x

Passo 3

Aqui temos P(x)=1xln x e Q(x)=-1ln x. Em equações lineares, o fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integraldxxln x

Passo 4

Calculemos o integral de P(x): faça u=ln x, então du=dx/x. Logo
integraldxxln x=integralduu=ln|u|=ln|ln x|
Assim o fator integrante é
mu(x)=e^ln|ln x|=|ln x|
Para simplicidade, assumimos ln x>0 e tomamos mu(x)=ln x.

Passo 5

Multiplique a EDO padrão por mu(x). Fica
ln x,y' + ln xxln x,y = -ln xln x,
ou seja
ln x,y' + 1x,y = -1
O lado esquerdo é a derivada do produto yln x, pois
ddxl(yln xr)=y'ln x + y1x
Portanto
ddxl(yln xr)=-1

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
yln x=integral(-1),dx=-x+C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y:
y=-x+Cln x=C-xln x

Resposta

y=dfracC-xln x

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