Esboce o conjunto dos pares
do produto cartesiano
para os seguintes casos:
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, onde a gente precisa desenhar no plano cartesiano todos os pares ordenados
que satisfazem a condição
. Basicamente, vamos precisar entender o que essa desigualdade significa e como ela se traduz em uma região no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. O símbolo
representa o valor absoluto, que é a distância do número até o zero na reta numérica. Então,
quer dizer que a distância de
até o zero é menor ou igual à distância de
até o zero.
Passo 3
Para facilitar, vamos pensar em quadrados. Se a gente elevar ambos os lados da desigualdade ao quadrado (já que tudo dentro do valor absoluto é positivo), teremos:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos analisar quando o produto
é maior ou igual a zero. Isso acontece nas seguintes situações:
- Ambos os fatores são positivos:
-
(ou seja, ) -
(ou seja, )
-
- Ambos os fatores são negativos:
-
(ou seja, ) -
(ou seja, )
-
Passo 5
Então, as soluções são:
-
Primeira situação:Isso significa que
está acima das duas retas, e . -
-
Segunda situação:Isso significa que
está abaixo das duas retas, e . -
Passo 6
No plano cartesiano, as retas
e
formam um “X”. A região onde
e
fica no topo desse “X”, criando uma espécie de V invertido. Já a região onde
e
fica na parte de baixo, formando outro V.
Passo 7
Portanto, o conjunto dos pares
que satisfazem
é a união dessas duas regiões: a superior (onde
é positivo e maior que
) e a inferior (onde
é negativo e menor que
). As próprias linhas
e
também fazem parte do conjunto, já que a desigualdade é
.
Resposta
O conjunto dos pares
que satisfazem
no plano cartesiano é formado pelas regiões acima das retas
e
, e abaixo delas, formando dois “V” opostos. As próprias linhas
e
também estão incluídas no conjunto.