Esboce o conjunto dos pares (x, y) do produto cartesiano R^2 para os seguintes casos:
|x| <= |y|

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício de Geometria Analítica, onde a gente precisa desenhar no plano cartesiano todos os pares ordenados (x, y) que satisfazem a condição |x| <= |y|. Basicamente, vamos precisar entender o que essa desigualdade significa e como ela se traduz em uma região no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |x| <= |y|. O símbolo | | representa o valor absoluto, que é a distância do número até o zero na reta numérica. Então, |x| <= |y| quer dizer que a distância de x até o zero é menor ou igual à distância de y até o zero.

Passo 3

Para facilitar, vamos pensar em quadrados. Se a gente elevar ambos os lados da desigualdade ao quadrado (já que tudo dentro do valor absoluto é positivo), teremos:
|x|^2 <= |y|^2 x^2 <= y^2
Isso simplifica para:
y^2 - x^2 >= 0 (y - x)(y + x) >= 0

Passo 4

Agora, vamos analisar quando o produto (y - x)(y + x) é maior ou igual a zero. Isso acontece nas seguintes situações:
  1. Ambos os fatores são positivos:
    • y - x >= 0 (ou seja, y >= x)
    • y + x >= 0 (ou seja, y >= -x)
  2. Ambos os fatores são negativos:
    • y - x <= 0 (ou seja, y <= x)
    • y + x <= 0 (ou seja, y <= -x)

Passo 5

Então, as soluções são:
  1. Primeira situação:
    • y >= x
    • y >= -x
    Isso significa que y está acima das duas retas, y = x e y = -x.
  2. Segunda situação:
    • y <= x
    • y <= -x
    Isso significa que y está abaixo das duas retas, y = x e y = -x.

Passo 6

No plano cartesiano, as retas y = x e y = -x formam um “X”. A região onde y >= x e y >= -x fica no topo desse “X”, criando uma espécie de V invertido. Já a região onde y <= x e y <= -x fica na parte de baixo, formando outro V.

Passo 7

Portanto, o conjunto dos pares (x, y) que satisfazem |x| <= |y| é a união dessas duas regiões: a superior (onde y é positivo e maior que |x|) e a inferior (onde y é negativo e menor que -|x|). As próprias linhas y = x e y = -x também fazem parte do conjunto, já que a desigualdade é <=.

Resposta

O conjunto dos pares (x, y) que satisfazem |x| <= |y| no plano cartesiano é formado pelas regiões acima das retas y = x e y = -x, e abaixo delas, formando dois “V” opostos. As próprias linhas y = x e y = -x também estão incluídas no conjunto.

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