Seja f: R R satisfazendo f(x+y)=f(x) cdot f(y) forall x, y in R. Prove que
Se existir x0 in R tal que f(x0)=0, então f(x)=0 forall x in R.

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoR satisfazendo
f(x+y)=f(x)cdot f(y)forall x,yinR
Queremos mostrar que, se existe x0inR com f(x0)=0, então
f(x)=0forall xinR
Usaremos a estrutura aditiva de R junto com a condição funcional.

Passo 2

Seja xinR arbitrário. Podemos escrever
x = (x - x0) + x0
Aplicando a relação funcional, vem
f(x) = fl((x - x0) + x0r) = f(x - x0)cdot f(x0) = f(x - x0)cdot 0 = 0
Como x era qualquer, concluímos que f(x)=0 para todo x.

Resposta

f(x)=0 para todo xinR.

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