Seja f: R R satisfazendo f(x+y)=f(x) cdot f(y) forall x, y in R. Prove que
Se f não é identicamente nula, então f(x)>0 para todo x in R.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:RtoR satisfazendo
f(x+y)=f(x),f(y)forall x,yinR
e pede para mostrar que, se f não é identicamente zero, então f(x)>0 para todo x.

Passo 2

Avaliaremos f(0). Usando a equação funcional com x=y=0,
f(0)=f(0+0)=f(0),f(0)=f(0)^2
Logo ,f(0)=0 ou ,f(0)=1. Se f(0)=0, então para todo x,
f(x)=f(x+0)=f(x),f(0)=f(x)cdot0=0,
isto é, f seria identicamente zero. Como rejeitamos esse caso, conclui-se que
f(0)=1

Passo 3

Mostramos agora que f(x) nunca pode ser zero. Suponha, por hipótese de contradição, que exista a tal que f(a)=0. Então para todo x,
f(x)=fl((x-a)+ar)=f(x-a),f(a)=f(x-a)cdot0=0,
ou seja, f seria identicamente zero, contradição. Portanto
f(x)neq0forall xinR

Passo 4

Para ver o sinal de f(x), escrevemos
f(x)=fl(tfrac x2+tfrac x2r)=fl(tfrac x2r),fl(tfrac x2r) =l[fl(tfrac x2r)r]^2>=0
Como também sabemos que f(x)neq0, segue que
f(x)>0forall xinR

Resposta

f(x)>0 para todo xinR.

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