Seja
satisfazendo
. Prove que
Se
não é identicamente nula, então
para todo
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma função
satisfazendo
e pede para mostrar que, se
não é identicamente zero, então
para todo
.
Passo 2
Avaliaremos
. Usando a equação funcional com
,
Logo
ou
. Se
, então para todo
,
isto é,
seria identicamente zero. Como rejeitamos esse caso, conclui-se que
Passo 3
Mostramos agora que
nunca pode ser zero. Suponha, por hipótese de contradição, que exista
tal que
. Então para todo
,
ou seja,
seria identicamente zero, contradição. Portanto
Passo 4
Para ver o sinal de
, escrevemos
Como também sabemos que
, segue que