O valor da integral integral3^+infty 1x^2-x-2 d x é:
a) -23 ln 2
b) 32 ln 2
c) -32 ln 2
d) 23 ln 2
e) ln 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral3^+infty 1x^2-x-2,dx,
envolvendo fatoração do denominador, frações parciais e limite de função logarítmica.

Passo 2

Fatoramos
x^2-x-2 = (x-2)(x+1),
e escrevemos
1(x-2)(x+1) = Ax-2 + Bx+1
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+1) obtemos
A(x+1) + B(x-2) = 1
Comparando coeficientes resulta em
A + B = 0, A - 2B = 1

Passo 3

Resolvendo o sistema A+B=0 e A-2B=1 vem
A = tfrac13, B = -tfrac13
Logo
1x^2-x-2 = 13l(1x-2 - 1x+1r)
Integramos cada termo:
integral 1x^2-x-2,dx = 13l(ln|x-2| - ln|x+1|r) + C = 13lnl|x-2x+1r| + C

Passo 4

Aplicamos o limite para a integral imprópria:
integral3^infty1x^2-x-2,dx = limttoinftyl[F(t)-F(3)r],
onde
F(x) = tfrac13ln!l(tfracx-2x+1r)
Calculamos
limttoinftyF(t) = 13ln!l(limttoinftytfract-2t+1r) = 13ln(1) = 0,
e
F(3) = 13ln!l(14r) = -13ln4 = -23ln2
Portanto
integral3^infty1x^2-x-2,dx = 0 - l(-tfrac23ln2r) = tfrac23ln2

Resposta

d) tfrac23ln2

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