Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
O conteúdo envolve noções de regiões no plano, fronteira de conjuntos e classificação quanto a aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Passo 2
Geometricamente,
é uma “coroa” (anel) centrada na origem, formada pelos pontos cuja distância ao centro satisfaz
Isto é, está estritamente fora do círculo de raio
(não inclui
) e dentro ou sobre o círculo de raio
(inclui
).
Passo 3
A fronteira de
é o conjunto de pontos em que toda vizinhança intersecta tanto
quanto o seu complemento. São exatamente as duas circunferências
Logo
Passo 4
Para ser aberto,
teria que conter uma pequena bola ao redor de cada ponto interno. Mas os pontos com
estão em
e não permitem uma bola contida em
(ela ultrapassa
). Portanto,
não é aberto.
Passo 5
Para ser fechado,
teria de conter todas as suas fronteiras. Mas faltam na definição os pontos com
. Logo
não é fechado.
Passo 6
O conjunto
fica contido no disco de raio
, então é limitado. Como não é fechado, não é compacto (compacto em
exige fechado e limitado).
Passo 7
Qualquer par de pontos em
pode ser ligado por um caminho que nunca cruze
nem ultrapasse
(por exemplo, subir radialmente a um raio intermediário
, fazer arco e descer radialmente). Isso mostra que
é conexo (na verdade, é arcoconexo).
Resposta
Fronteira:
Classificação:
– Aberto? não
– Fechado? não
– Limitado? sim
– Compacto? não
– Conexo? sim
– Aberto? não
– Fechado? não
– Limitado? sim
– Compacto? não
– Conexo? sim