Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; 1<x^2+y^2 <= 2

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R = (x,y)inR^2 mid 1 < x^2 + y^2 <= 2
O conteúdo envolve noções de regiões no plano, fronteira de conjuntos e classificação quanto a aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.

Passo 2

Geometricamente, R é uma “coroa” (anel) centrada na origem, formada pelos pontos cuja distância ao centro satisfaz
1 < r^2 <= 2, r = raizx^2+y^2
Isto é, está estritamente fora do círculo de raio 1 (não inclui r=1) e dentro ou sobre o círculo de raio raiz2 (inclui r=raiz2).

Passo 3

A fronteira de R é o conjunto de pontos em que toda vizinhança intersecta tanto R quanto o seu complemento. São exatamente as duas circunferências
x^2+y^2 = 1 e x^2+y^2 = 2
Logo
partial R =l(x,y)mid x^2+y^2=1r ;cup; l(x,y)mid x^2+y^2=2r

Passo 4

Para ser aberto, R teria que conter uma pequena bola ao redor de cada ponto interno. Mas os pontos com x^2+y^2=2 estão em R e não permitem uma bola contida em R (ela ultrapassa r=raiz2). Portanto, R não é aberto.

Passo 5

Para ser fechado, R teria de conter todas as suas fronteiras. Mas faltam na definição os pontos com x^2+y^2=1. Logo R não é fechado.

Passo 6

O conjunto R fica contido no disco de raio raiz2, então é limitado. Como não é fechado, não é compacto (compacto em R^2 exige fechado e limitado).

Passo 7

Qualquer par de pontos em R pode ser ligado por um caminho que nunca cruze r=1 nem ultrapasse r=raiz2 (por exemplo, subir radialmente a um raio intermediário >1, fazer arco e descer radialmente). Isso mostra que R é conexo (na verdade, é arcoconexo).

Resposta

Fronteira:
partial R =(x,y)mid x^2+y^2=1,cup,(x,y)mid x^2+y^2=2
Classificação:
– Aberto? não
– Fechado? não
– Limitado? sim
– Compacto? não
– Conexo? sim

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