Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; 0<x e 1 <= y <= 2

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
R=(x,y)inR^2 mid 0<x,;1<= y<=2
e pede: (i) um esboço geométrico, (ii) a fronteira partialR, e (iii) a classificação em aberto/fechado/limitado/compacto/conexo.
Conteúdo: topologia elementar em R^2, em particular interior, aderência, fronteira e propriedades de conjuntos.

Passo 2

Geometricamente, R é a faixa horizontal entre as retas y=1 e y=2, incluindo essas duas retas, mas limitada à direita por x>0 (o semiplano aberto à direita do eixo y).
No plano, desenhe:
bul<=t as retas horizontais y=1 e y=2 sólidas,
bul<=t a reta vertical x=0 tracejada,
bul<=t a região entre y=1 e y=2 à direita de x=0.

Passo 3

Para achar a fronteira, calculamos primeiro interior e aderência de R:
O interior é
int(R) =(x,y)mid x>0,;1<y<2,
pois os pontos em y=1 ou y=2 não têm vizinhança inteira contida em R.
A aderência é
R =(x,y)mid x>=0,;1<= y<=2,
pois adicionamos a fronteira vertical x=0.
Logo a fronteira é
partialR =R-int(R) =(0,y)mid1<= y<=2 ;cup;(x,1)mid x>0 ;cup;(x,2)mid x>0

Passo 4

Classificação de R:
  1. Aberto? Não, porque contém pontos em y=1 e y=2 que não são pontos interiores.
  2. Fechado? Não, pois não contém a reta x=0 com 1<= y<=2, que faz parte de sua aderência.
  3. Limitado? Não, x pode crescer sem limite.
  4. Compacto? Não, pois não é fechado nem limitado.
  5. Conexo? Sim: é uma faixa contínua sem “buracos” nem separações.

Resposta

Fronteira:
partialR =(0,y)mid1<= y<=2 cup(x,1)mid x>0 cup(x,2)mid x>0
Classificação:
R não é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto e é conexo.

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