Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; 4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto R=(x,y)inR^2;,4, determinar sua fronteira e classificá-lo como aberto, fechado, limitado, compacto ou conexo. Vamos usar conceitos de topologia no plano: pré-imagem de abertos via funções contínuas, fronteira, conexidade e compacidade.

Passo 2

Note que a desigualdade 4 depende só de x. Podemos reescrever como 2<|x|<3. Logo
R=(x,y):2<|x|<3,;yinR,
ou seja, duas faixas verticais abertas: uma para -3 e outra para 2, estendendo-se indefinidamente em y.

Passo 3

A fronteira de R são todos os pontos em que x^2=4 ou x^2=9, pois ali se muda de dentro para fora de R. Assim
partialR=(x,y):x=pm2 ou x=pm3,;yinR

Passo 4

Para classificar R:
– É aberto, pois f(x,y)=x^2 é contínua e R=f^-1((4,9)), sendo (4,9) aberto.
– Não é fechado porque não contém sua fronteira.
– Não é limitado já que y varia em R.
– Logo, não é compacto (precisa ser fechado e limitado).
– É desconexo, pois se divide em duas componentes abertas separadas (uma em -3,-2 e outra em 2,3).

Resposta

O conjunto corresponde a duas faixas verticais abertas (x,y):2<|x|<3,yinR; sua fronteira é (x,y):x=pm2 ou x=pm3,,yinR. R é aberto, não fechado, não limitado, não compacto e desconexo.

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