Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto
, determinar sua fronteira e classificá-lo como aberto, fechado, limitado, compacto ou conexo. Vamos usar conceitos de topologia no plano: pré-imagem de abertos via funções contínuas, fronteira, conexidade e compacidade.
Passo 2
Note que a desigualdade
depende só de
. Podemos reescrever como
. Logo
ou seja, duas faixas verticais abertas: uma para
Passo 3
A fronteira de
são todos os pontos em que
ou
, pois ali se muda de dentro para fora de
. Assim
Passo 4
Para classificar
:
– É aberto, pois é contínua e
, sendo
aberto.
– Não é fechado porque não contém sua fronteira.
– Não é limitado já que varia em
.
– Logo, não é compacto (precisa ser fechado e limitado).
– É desconexo, pois se divide em duas componentes abertas separadas (uma em e outra em
).
– É aberto, pois
– Não é fechado porque não contém sua fronteira.
– Não é limitado já que
– Logo, não é compacto (precisa ser fechado e limitado).
– É desconexo, pois se divide em duas componentes abertas separadas (uma em
Resposta
O conjunto corresponde a duas faixas verticais abertas
; sua fronteira é
.
é aberto, não fechado, não limitado, não compacto e desconexo.