Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o conjunto
, achar sua fronteira e dizer se ele é aberto, fechado, limitado, compacto e/ou conexo. Vamos usar a definição de semi‐plano aberto e propriedades de conjuntos na topologia usual de
.
Passo 2
A condição
define o semi‐plano acima da reta
, sem incluir a própria reta. Em termos de função, podemos ver
, e
, o que já indica que é uma pré‐imagem de um aberto por função contínua.
No esboço, traçamos a reta como linha tracejada (não pertence a
) e sombrear a região acima dela, sem borda.
No esboço, traçamos a reta
Passo 3
A fronteira de
é exatamente a reta onde
, pois é o conjunto de pontos em que qualquer bola aberta ao redor cruza tanto
quanto seu complementar.
Passo 4
Para classificar:
- Aberto: sim, pois é
com contínua e aberto. - Fechado: não, pois não contém sua fronteira (a reta
). - Limitado: não, pois se estende ao infinito.
- Compacto: não, porque não é nem fechado nem limitado.
- Conexo: sim, pois é um semi‐plano convexo e, logo, conectado.
Resposta
Fronteira: reta
.
é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto e é conexo.