Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ; x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto R=(x,y)inR^2;;x, achar sua fronteira e dizer se ele é aberto, fechado, limitado, compacto e/ou conexo. Vamos usar a definição de semi‐plano aberto e propriedades de conjuntos na topologia usual de R^2.

Passo 2

A condição x define o semi‐plano acima da reta y=x, sem incluir a própria reta. Em termos de função, podemos ver f(x,y)=y-x, e R=f^-1((0,infty)), o que já indica que é uma pré‐imagem de um aberto por função contínua.
No esboço, traçamos a reta y=x como linha tracejada (não pertence a R) e sombrear a região acima dela, sem borda.

Passo 3

A fronteira de R é exatamente a reta onde x=y, pois é o conjunto de pontos em que qualquer bola aberta ao redor cruza tanto R quanto seu complementar.

Passo 4

Para classificar:
  • Aberto: sim, pois é f^-1((0,infty)) com f contínua e (0,infty) aberto.
  • Fechado: não, pois não contém sua fronteira (a reta y=x).
  • Limitado: não, pois se estende ao infinito.
  • Compacto: não, porque não é nem fechado nem limitado.
  • Conexo: sim, pois é um semi‐plano convexo e, logo, conectado.

Resposta

Fronteira: reta y=x. R é aberto, não é fechado, não é limitado, não é compacto e é conexo.

Exercícios relacionados