Esboce o conjunto do plano dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto .
O conteúdo aqui é topologia elemental em : precisamos esboçar esse retângulo “semi-aberto”, encontrar sua fronteira (boundary), e classificá-lo em aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Passo 2
Para visualizar , note que horizontalmente ele se estende de até , incluindo as duas retas e ; verticalmente vai de (incluído) até (não incluído).
Assim é um retângulo com a aresta superior “aberta” e as outras três arestas “fechadas”.
Passo 3
Vamos primeiro determinar o fecho e o interior int(R):
R=[-1,1]times[-1,2],
pois adicionamos a aresta y=2 que faltava.
int(R)=(-1,1)times(-1,2),
pois removemos todas as quatro arestas.
A fronteira é então
Aberto? Não, porque R contém pontos de fronteira (por exemplo (1,0)) e não contém outros (a aresta y=2).
Fechado? Não, pois falta incluir a aresta y=2.
Limitado? Sim, está contido no retângulo [-1,1]times[-1,2].
Compacto? Em R^2 compacidade equivale a fechado e limitado. Aqui é limitado mas não fechado, logo não é compacto.
Conexo? Sim. Trata-se de um retângulo “com um dos lados abertos”, mas ainda é caminho-conexo: dados dois pontos em R podemos unir por um segmento que fique estritamente abaixo de y=2.
Resposta
Fronteira:
partialR =lx=-1,,-1<= y<=2r cup lx=1,,-1<= y<=2r cup l-1<= x<=1,,y=-1r cup l-1<= x<=1,,y=2r
Classificação: não aberto, não fechado, limitado, não compacto, conexo.