Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ;|x| <= 1,-1 <= y<2

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R=(x,y)inR^2mid |x|<=1,;-1<= y<2.
O conteúdo aqui é topologia elemental em R^2: precisamos esboçar esse retângulo “semi-aberto”, encontrar sua fronteira (boundary), e classificá-lo em aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.

Passo 2

Para visualizar R, note que horizontalmente ele se estende de x=-1 até x=1, incluindo as duas retas x=-1 e x=1; verticalmente vai de y=-1 (incluído) até y=2 (não incluído).
Assim é um retângulo com a aresta superior y=2 “aberta” e as outras três arestas “fechadas”.

Passo 3

Vamos primeiro determinar o fecho R e o interior int(R):
R=[-1,1]times[-1,2],
pois adicionamos a aresta y=2 que faltava.
int(R)=(-1,1)times(-1,2),
pois removemos todas as quatro arestas.
A fronteira é então
partialR=R setminus int(R)
que corresponde à união das quatro retas:
,(x,y)mid x=-1,,-1<= y<=2;cup;(x,y)mid x=1,,-1<= y<=2;cup;(x,y)mid -1<= x<=1,;y=-1;cup;(x,y)mid -1<= x<=1,;y=2

Passo 4

Classificações:
  • Aberto? Não, porque R contém pontos de fronteira (por exemplo (1,0)) e não contém outros (a aresta y=2).
  • Fechado? Não, pois falta incluir a aresta y=2.
  • Limitado? Sim, está contido no retângulo [-1,1]times[-1,2].
  • Compacto? Em R^2 compacidade equivale a fechado e limitado. Aqui é limitado mas não fechado, logo não é compacto.
  • Conexo? Sim. Trata-se de um retângulo “com um dos lados abertos”, mas ainda é caminho-conexo: dados dois pontos em R podemos unir por um segmento que fique estritamente abaixo de y=2.

Resposta

Fronteira:
partialR =lx=-1,,-1<= y<=2r cup lx=1,,-1<= y<=2r cup l-1<= x<=1,,y=-1r cup l-1<= x<=1,,y=2r
Classificação: não aberto, não fechado, limitado, não compacto, conexo.

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