Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
no plano
.
Conteúdo: geometria de conjuntos em , fronteira (boundary) e classificação topológica (aberto, fechado, limitado, compacto, conexo).
Conteúdo: geometria de conjuntos em
Passo 2
Para esboçar
, desenhamos os eixos
e
e marcamos os vértices do retângulo fechado cujas arestas são:
Depois basta sombrear todo o retângulo incluindo as quatro arestas, pois
contém seus limites em
e
.
Passo 3
A fronteira
é o conjunto de pontos de
que não pertencem ao interior de
R . Como
R é o produto de intervalos fechados, temos
Passo 4
Classificação de
R :
- Aberto? Não, pois não contém bolas abertas em torno dos pontos das arestas.
- Fechado? Sim, pois é produto de conjuntos fechados em
.R - Limitado? Sim, está contido em um retângulo de lados finitos.
- Compacto? Sim, pelo Teorema de Heine–Borel em
(fechado e limitado).R^2 - Conexo? Sim, é até convexo (todo segmento entre dois pontos em
fica emR ), logo é conexo.R
Resposta
A fronteira é