Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=[0,1] times[1,2]

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R = [0,1] times [1,2]
no plano R^2.
Conteúdo: geometria de conjuntos em R^2, fronteira (boundary) e classificação topológica (aberto, fechado, limitado, compacto, conexo).

Passo 2

Para esboçar R, desenhamos os eixos x e y e marcamos os vértices do retângulo fechado cujas arestas são:
(0,1),;(1,1),;(1,2),;(0,2)
Depois basta sombrear todo o retângulo incluindo as quatro arestas, pois R contém seus limites em x=0,1 e y=1,2.

Passo 3

A fronteira partial R é o conjunto de pontos de R que não pertencem ao interior de R. Como R é o produto de intervalos fechados, temos
partial R = l([0,1]times1r) ;cup; l([0,1]times2r) ;cup; l(0times[1,2]r) ;cup; l(1times[1,2]r)

Passo 4

Classificação de R:
  • Aberto? Não, pois não contém bolas abertas em torno dos pontos das arestas.
  • Fechado? Sim, pois é produto de conjuntos fechados em R.
  • Limitado? Sim, está contido em um retângulo de lados finitos.
  • Compacto? Sim, pelo Teorema de Heine–Borel em R^2 (fechado e limitado).
  • Conexo? Sim, é até convexo (todo segmento entre dois pontos em R fica em R), logo é conexo.

Resposta

A fronteira é
partial R = ([0,1]times1) cup ([0,1]times2) cup (0times[1,2]) cup (1times[1,2])
R não é aberto; é fechado; é limitado; é compacto; e é conexo.

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