Esboce o conjunto
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto
,
determinar sua fronteira e classificá-lo quanto a aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Vamos usar a norma , propriedades de pré-imagens por funções contínuas e o critério de Heine–Borel em
.
determinar sua fronteira e classificá-lo quanto a aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Vamos usar a norma
Passo 2
Note que
onde
. Geometricamente isso é um losango (um quadrado rotacionado
) cujos vértices são
,
,
e
. No esboço, basta marcar esses quatro pontos e ligar consecutivamente por segmentos retos.
Passo 3
A fronteira de um conjunto definido por
, com
contínua, é
. Aqui
é contínua, logo
que é exatamente o contorno do losango.
Passo 4
Classificação de
:
– Fechado? Sim, pois é pré-imagem de conjunto fechado por
contínua.
– Aberto? Não, pois não contém seus pontos de fronteira.
– Limitado? Sim, de segue
e
, então
.
– Compacto? Sim, é fechado e limitado em (Heine–Borel).
– Conexo? Sim, pois é convexo (bola unitária em norma) e todo conjunto convexo em é conexo.
– Fechado? Sim, pois
– Aberto? Não, pois não contém seus pontos de fronteira.
– Limitado? Sim, de
– Compacto? Sim, é fechado e limitado em
– Conexo? Sim, pois é convexo (bola unitária em norma) e todo conjunto convexo em
Resposta
Fronteira:
Classificação: fechado, limitado, compacto e conexo (não é aberto).
Classificação: fechado, limitado, compacto e conexo (não é aberto).