Esboce o conjunto R do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto, fechado, limitado, compacto, ou conexo.
R=(x, y) in R^2 ;|x|+|y| <= 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto
R=(x,y)inR^2 : |x|+|y|<=1,
determinar sua fronteira e classificá-lo quanto a aberto, fechado, limitado, compacto e conexo.
Vamos usar a norma L^1, propriedades de pré-imagens por funções contínuas e o critério de Heine–Borel em R^2.

Passo 2

Note que
R=(x,y)inR^2 : | (x,y)|1<=1,
onde |(x,y)|1=|x|+|y|. Geometricamente isso é um losango (um quadrado rotacionado 45^circ) cujos vértices são
(1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). No esboço, basta marcar esses quatro pontos e ligar consecutivamente por segmentos retos.

Passo 3

A fronteira de um conjunto definido por (x,y):f(x,y)<= c, com f contínua, é (x,y):f(x,y)=c. Aqui f(x,y)=|x|+|y| é contínua, logo
partialR=(x,y)inR^2 : |x|+|y|=1,
que é exatamente o contorno do losango.

Passo 4

Classificação de R:
– Fechado? Sim, pois R=f^-1((-infty,1]) é pré-imagem de conjunto fechado por f contínua.
– Aberto? Não, pois não contém seus pontos de fronteira.
– Limitado? Sim, de |x|+|y|<=1 segue |x|<=1 e |y|<=1, então Rsubset[-1,1]times[-1,1].
– Compacto? Sim, é fechado e limitado em R^2 (Heine–Borel).
– Conexo? Sim, pois é convexo (bola unitária em norma) e todo conjunto convexo em R^n é conexo.

Resposta

Fronteira: (x,y)inR^2:|x|+|y|=1
Classificação: fechado, limitado, compacto e conexo (não é aberto).

Exercícios relacionados