Esboce o conjunto
do plano
e determine a fronteira em cada caso. Classifique se
é aberto, fechado, limitado ou compacto.
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que esboçar o conjunto
no plano
, encontrar sua fronteira e depois classificar
como aberto, fechado, limitado ou compacto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e topologia básica, como definição de conjuntos abertos e fechados, fronteiras e propriedades de conjuntos no plano.
Passo 2
Vamos analisar a definição do conjunto
:
Isso significa que
consiste em todos os pontos no plano onde a coordenada
é maior ou igual a zero e a soma dos quadrados de
e
é menor que 1.
Passo 3
Geometricamente, a equação
representa o interior de um círculo de raio 1 centrado na origem. A condição adicional
restringe esse conjunto à metade direita do círculo. Portanto,
é a parte interna de um semicírculo localizado no lado direito do plano.
Passo 4
Para esboçar
, desenhamos o círculo de raio 1 centrado na origem. Em seguida, consideramos apenas a parte onde
, ou seja, o semicírculo direito. A desigualdade
indica que não incluímos a borda do círculo, então o semicírculo é “aberto” na fronteira.
Passo 5
Agora, vamos determinar a fronteira de
. A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos dentro e fora do conjunto. Para
, a fronteira consiste nos pontos onde
(a circunferência do círculo) e nos pontos onde
(o eixo
). Portanto, a fronteira é a linha semicircular com
e o segmento do eixo
de
a
.
Passo 6
Vamos classificar
:
-
Aberto: Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira. Como
não inclui a circunferência ( ), ele é aberto nessa parte, mas inclui , que faz parte da fronteira. Portanto, não é completamente aberto. -
Fechado: Um conjunto é fechado se inclui toda a sua fronteira. Como
não inclui a circunferência, falta parte da fronteira, então não é fechado. -
Limitado: Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito.
está totalmente dentro do círculo de raio 1, então é limitado. -
Compacto: No espaço euclidiano, um conjunto é compacto se é fechado e limitado. Como
não é fechado, mesmo sendo limitado, não é compacto.
Resposta
O conjunto
é a parte interna do semicírculo direito de raio 1 no plano, com fronteira composta pela circunferência e pelo eixo
.
não é aberto nem fechado, é limitado, mas não é compacto.