Esboce o conjunto R do plano R^2 e determine a fronteira em cada caso. Classifique se R é aberto, fechado, limitado ou compacto.
R=(x, y) in R^2: x >= 0 e x^2+y^2<1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que esboçar o conjunto R no plano R^2 , encontrar sua fronteira e depois classificar R como aberto, fechado, limitado ou compacto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e topologia básica, como definição de conjuntos abertos e fechados, fronteiras e propriedades de conjuntos no plano.

Passo 2

Vamos analisar a definição do conjunto R :
R = (x, y) in R^2 : x >= 0 e x^2+y^2<1
Isso significa que R consiste em todos os pontos no plano onde a coordenada x é maior ou igual a zero e a soma dos quadrados de x e y é menor que 1.

Passo 3

Geometricamente, a equação x^2+y^2<1 representa o interior de um círculo de raio 1 centrado na origem. A condição adicional x >= 0 restringe esse conjunto à metade direita do círculo. Portanto, R é a parte interna de um semicírculo localizado no lado direito do plano.

Passo 4

Para esboçar R , desenhamos o círculo de raio 1 centrado na origem. Em seguida, consideramos apenas a parte onde x >= 0 , ou seja, o semicírculo direito. A desigualdade x^2+y^2<1 indica que não incluímos a borda do círculo, então o semicírculo é “aberto” na fronteira.

Passo 5

Agora, vamos determinar a fronteira de R . A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde qualquer vizinhança contém pontos dentro e fora do conjunto. Para R , a fronteira consiste nos pontos onde x^2+y^2=1 (a circunferência do círculo) e nos pontos onde x=0 (o eixo y ). Portanto, a fronteira é a linha semicircular com x^2+y^2=1 e o segmento do eixo y de y=-1 a y=1 .

Passo 6

Vamos classificar R :
  • Aberto: Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira. Como R não inclui a circunferência ( x^2+y^2=1 ), ele é aberto nessa parte, mas inclui x=0 , que faz parte da fronteira. Portanto, R não é completamente aberto.
  • Fechado: Um conjunto é fechado se inclui toda a sua fronteira. Como R não inclui a circunferência, falta parte da fronteira, então não é fechado.
  • Limitado: Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. R está totalmente dentro do círculo de raio 1, então é limitado.
  • Compacto: No espaço euclidiano, um conjunto é compacto se é fechado e limitado. Como R não é fechado, mesmo sendo limitado, não é compacto.

Resposta

O conjunto R é a parte interna do semicírculo direito de raio 1 no plano, com fronteira composta pela circunferência e pelo eixo y . R não é aberto nem fechado, é limitado, mas não é compacto.

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