Esboce o conjunto do plano e determine a fronteira em cada caso. Classifique se é aberto, fechado, limitado ou compacto.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para esboçá-lo, achar sua fronteira e verificar se é aberto, fechado, limitado ou compacto.
Conteúdo envolvido: desenho de regiões por desigualdades circulares, definição de fronteira (), interior e adesão, e critérios de aberto/fechado e de compacidade em .
Passo 2
Para esboçar , note que as curvas críticas são as circunferências de raio e de raio . . A circunferência interna não faz parte de (pois é ), então ela aparece tracejada. . A circunferência externa faz parte de (pois é ), então ela aparece com linha cheia. . A região é o “anel” entre os dois círculos, incluindo o limite externo e excluindo o interno.
Passo 3
Para encontrar usamos
Aqui R=1<= x^2+y^2<=2 e R^circ=1<x^2+y^2<2.
Logo
partial R=x^2+y^2=1;cup;x^2+y^2=2
Passo 4
Verificações de aberto/fechado/limitado/compacto:
Aberto? Não, pois pontos em x^2+y^2=2subset R não têm vizinhança totalmente contida em R.
Fechado? Não, pois a circunferência interna x^2+y^2=1 não está em R, embora faça parte de overline R.
Limitado? Sim, pois Rsubsetx^2+y^2<=2, ou seja, fica dentro de um disco de raio raiz2.
Compacto? Em R^2 vale Heine–Borel: é necessário ser fechado e limitado. Embora seja limitado, não é fechado, logo não é compacto.
Resposta
Fronteira:
partial R = (x,y) mid x^2 + y^2 = 1 cup (x,y) mid x^2 + y^2 = 2