Esboce o conjunto R do plano R^2 e determine a fronteira em cada caso. Classifique se R é aberto, fechado, limitado ou compacto.
R=(x, y) in R^2: 1<x^2+y^2 <= 2

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R=(x,y)inR^2mid 1<x^2+y^2<=2
e pede para esboçá-lo, achar sua fronteira e verificar se é aberto, fechado, limitado ou compacto.
Conteúdo envolvido: desenho de regiões por desigualdades circulares, definição de fronteira ( partial R), interior e adesão, e critérios de aberto/fechado e de compacidade em R^2.

Passo 2

Para esboçar R, note que as curvas críticas são as circunferências de raio 1 e de raio raiz2.
1. A circunferência interna x^2+y^2=1 não faz parte de R (pois é <), então ela aparece tracejada.
2. A circunferência externa x^2+y^2=2 faz parte de R (pois é <=), então ela aparece com linha cheia.
3. A região é o “anel” entre os dois círculos, incluindo o limite externo e excluindo o interno.

Passo 3

Para encontrar partial R usamos
partial R=Rsetminus R^circ
Aqui
R=1<= x^2+y^2<=2 e
R^circ=1<x^2+y^2<2.
Logo
partial R=x^2+y^2=1;cup;x^2+y^2=2

Passo 4

Verificações de aberto/fechado/limitado/compacto:
  • Aberto? Não, pois pontos em x^2+y^2=2subset R não têm vizinhança totalmente contida em R.
  • Fechado? Não, pois a circunferência interna x^2+y^2=1 não está em R, embora faça parte de overline R.
  • Limitado? Sim, pois Rsubsetx^2+y^2<=2, ou seja, fica dentro de um disco de raio raiz2.
  • Compacto? Em R^2 vale Heine–Borel: é necessário ser fechado e limitado. Embora seja limitado, não é fechado, logo não é compacto.

Resposta

Fronteira:
partial R = (x,y) mid x^2 + y^2 = 1 cup (x,y) mid x^2 + y^2 = 2
Classificação:
  • Aberto? Não.
  • Fechado? Não.
  • Limitado? Sim.
  • Compacto? Não.

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