Esboce o sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos
e calcule o volume.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce e calcule o volume de um sólido que vive no primeiro octante, isto é, com
e é limitado pelos planos
Para achar o volume, vamos projetar o sólido no plano
, determinar a altura em cada ponto da base e usar integração dupla.
Passo 2
A projeção do sólido no plano
é o triângulo
com vértices em
,
e
. Sobre cada ponto
a “altura” do sólido é
No esboço, imagine uma base triangular na altura zero e um plano inclinado subindo de
em
até
em
e
.
Passo 3
A fórmula do volume é
Escolhendo ordem
, temos
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
Simplificando,
então a soma fica
Passo 5
Agora integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.