Esboce o sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos
e calcule o volume.

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce e calcule o volume de um sólido que vive no primeiro octante, isto é, com
x>=0, y>=0, z>=0,
e é limitado pelos planos
z = x + y + 1, z = 0, x = 0, y = 0, x + y = 1
Para achar o volume, vamos projetar o sólido no plano xy, determinar a altura em cada ponto da base e usar integração dupla.

Passo 2

A projeção do sólido no plano z=0 é o triângulo
D = (x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1-x,
com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Sobre cada ponto (x,y)in D a “altura” do sólido é
h(x,y) = (x+y+1) - 0 = x + y + 1
No esboço, imagine uma base triangular na altura zero e um plano inclinado subindo de z=1 em (0,0) até z=2 em (1,0) e (0,1).

Passo 3

A fórmula do volume é
V = integral duplaD l(a<urar),dA = integral duplaD (x+y+1),dA
Escolhendo ordem dy,dx, temos
V = integralx=0^1integraly=0^1-x(x + y + 1),dy,dx

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
integral0^1-x(x+y+1),dy = integral0^1-x(x+1),dy ;+;integral0^1-xy,dy = (x+1)(1-x) ;+;(1-x)^22
Simplificando,
(x+1)(1-x)=1-x^2, (1-x)^22=1-2x+x^22,
então a soma fica
1 - x^2 ;+;1-2x+x^22 = 32 - x - x^22

Passo 5

Agora integramos em x:
V = integral0^1l(tfrac32-x-tfracx^22r),dx = [32x - x^22 - x^36]0^1 = 32 - 12 - 16 = 1 - 16 = 56

Resposta

O volume do sólido é 56 unidades cúbicas.

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