Esboce o conjunto
do plano
e determine a fronteira em cada caso. Classifique se
é aberto, fechado, limitado ou compacto.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
pede um esboço geométrico, a fronteira de
e a classificação quanto a aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar noções de pré-imagem de intervalos abertos para definir abertos, e entender fronteira como pontos onde qualquer vizinhança intersecta
e seu complemento.
Passo 2
Primeiro escrevemos a condição
como
isto é,
Geometricamente são duas faixas verticais abertas de largura
, uma entre as retas
e
, outra entre
e
, estendendo-se para todo
.
Passo 3
A fronteira
é o conjunto dos pontos onde
ou
, pois são os valores extremos não incluídos em
. Logo,
Passo 4
Verificações de classificação:
– Aberto: como com
contínua e
aberto,
é aberto.
– Fechado: faltam as retas e
para fechar, logo
não é fechado.
– Limitado: percorre todo
, então
é ilimitado.
– Compacto: em , compacto requer fechado e limitado; aqui não vale nem um nem outro, portanto não compacto.
– Aberto: como
– Fechado: faltam as retas
– Limitado:
– Compacto: em
Resposta
Esboço: duas faixas verticais abertas entre
e
e entre
e
, estendendo-se por todo o eixo
.
.
é aberto, não é fechado, não é limitado e não é compacto.