Esboce o conjunto R do plano R^2 e determine a fronteira em cada caso. Classifique se R é aberto, fechado, limitado ou compacto.
R=(x, y) in R^2: 4<x^2<9

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R = (x,y)inR^2 : 4 < x^2 < 9
pede um esboço geométrico, a fronteira de R e a classificação quanto a aberto, fechado, limitado e compacto. Vamos usar noções de pré-imagem de intervalos abertos para definir abertos, e entender fronteira como pontos onde qualquer vizinhança intersecta R e seu complemento.

Passo 2

Primeiro escrevemos a condição 4 < x^2 < 9 como
2 < |x| < 3,
isto é,
R = (x,y): 2 < x < 3,;yinR;cup;(x,y): -3 < x < -2,;yinR
Geometricamente são duas faixas verticais abertas de largura 1, uma entre as retas x=2 e x=3, outra entre x=-3 e x=-2, estendendo-se para todo y.

Passo 3

A fronteira partial R é o conjunto dos pontos onde x^2=4 ou x^2=9, pois são os valores extremos não incluídos em R. Logo,
partial R = (x,y): x=2 ou x=-2 ou x=3 ou x=-3,;yinR

Passo 4

Verificações de classificação:
– Aberto: como R = f^-1((4,9)) com f(x,y)=x^2 contínua e (4,9) aberto, R é aberto.
– Fechado: faltam as retas x=pm2 e x=pm3 para fechar, logo R não é fechado.
– Limitado: y percorre todo R, então R é ilimitado.
– Compacto: em R^2, compacto requer fechado e limitado; aqui não vale nem um nem outro, portanto não compacto.

Resposta

Esboço: duas faixas verticais abertas entre x=2 e x=3 e entre x=-3 e x=-2, estendendo-se por todo o eixo y.
partial R = (x,y):x=pm2 ou x=pm3,;yinR. R é aberto, não é fechado, não é limitado e não é compacto.

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