Esboce o conjunto R do plano R^2 e determine a fronteira em cada caso. Classifique se R é aberto, fechado, limitado ou compacto.
R=(x, y) in R^2: x<y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto
R = (x,y)in R^2 : x<y,
determinar sua fronteira (boundary) e classificar se R é aberto, fechado, limitado ou compacto. O conteúdo envolve geometria no plano e conceitos de topologia elementar: interior, fecho, fronteira e noções de compacidade.

Passo 2

Geometricamente, (x,y):x=y é a reta diagonal que divide o plano em duas metades. A condição x<y seleciona todos os pontos que estão estritamente “acima” dessa reta. No esboço, traçamos a linha y=x e sombreia-se a região acima dela, sem incluir a linha.

Passo 3

Por definição, a fronteira de R é
partial R = Rsetminus int(R)
O fecho é R=(x,y):x<= y e o interior é int(R)=(x,y):x<y. Portanto
partial R = (x,y)inR^2 : x=y

Passo 4

Um conjunto é aberto se todo ponto dele tem um pequeno disco contido no conjunto. Como R é exatamente o interior de si mesmo ( int(R)=R), concluímos que R é aberto. Não é fechado porque sua fronteira não está contida em R.

Passo 5

O conjunto R se estende indefinidamente em todas as direções acima da reta y=x, logo não é limitado. Como não é simultaneamente fechado e limitado, não é compacto.

Resposta

A fronteira de R é (x,y):x=y.
R é aberto, não é fechado, não é limitado e, portanto, não é compacto.

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