Esboce o conjunto do plano e determine a fronteira em cada caso. Classifique se é aberto, fechado, limitado ou compacto.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto
determinar sua fronteira (boundary) e classificar se é aberto, fechado, limitado ou compacto. O conteúdo envolve geometria no plano e conceitos de topologia elementar: interior, fecho, fronteira e noções de compacidade.
Passo 2
Geometricamente, é a reta diagonal que divide o plano em duas metades. A condição seleciona todos os pontos que estão estritamente “acima” dessa reta. No esboço, traçamos a linha e sombreia-se a região acima dela, sem incluir a linha.
Passo 3
Por definição, a fronteira de é
O fecho é R=(x,y):x<= y e o interior é int(R)=(x,y):x<y. Portanto
partial R = (x,y)inR^2 : x=y
Passo 4
Um conjunto é aberto se todo ponto dele tem um pequeno disco contido no conjunto. Como R é exatamente o interior de si mesmo (int(R)=R), concluímos que R é aberto. Não é fechado porque sua fronteira não está contida em R.
Passo 5
O conjunto R se estende indefinidamente em todas as direções acima da reta y=x, logo não é limitado. Como não é simultaneamente fechado e limitado, não é compacto.
Resposta
A fronteira de R é (x,y):x=y. R é aberto, não é fechado, não é limitado e, portanto, não é compacto.