Esboce o conjunto do plano e determine a fronteira em cada caso. Classifique se é aberto, fechado, limitado ou compacto. e
Passo 1
O enunciado define o conjunto
O conteúdo é topologia em : vamos esboçar , achar a fronteira e classificar como aberto, fechado, limitado e/ou compacto.
Passo 2
Descrição e esboço de :
A condição é a meia-plano à direita do eixo , sem incluir a reta .
A condição é uma faixa horizontal entre as retas (incluída) e (não incluída).
Logo, é o “túnel” infinito à direita do eixo , limitado por baixo pela reta sólida e por cima pela reta tracejada .
Passo 3
Determinação da fronteira :
O fecho de é
O interior de R é
int(R) = (x,y) : x>0,;1<y<2
A fronteira é partial R = Rsetminusint(R), ou seja
partial R = (x,y):x=0,;1<= y<=2 ;cup;(x,y):x>0,;y=1 ;cup;(x,y):x>=0,;y=2
Passo 4
Classificação de R:
Aberto? Não, porque os pontos em que y=1 pertencem a R mas não são pontos interiores.
Fechado? Não, pois não inclui a reta y=2 (pontos-limite de R que faltam).
Limitado? Não, pois se estende indefinidamente para xto+infty.
Compacto? Não, pois não é fechado nem limitado.
Resposta
Esboço: meia-plano x>0 entre y=1 (reta sólida) e y=2 (reta tracejada).
Fronteira:
partial R = (x,y):x=0,;1<= y<=2 ;cup;(x,y):x>0,;y=1 ;cup;(x,y):x>=0,;y=2
Classificação: R não é aberto, não é fechado, não é limitado e, portanto, não é compacto.