Esboce o conjunto R do plano R^2 e determine a fronteira em cada caso. Classifique se R é aberto, fechado, limitado ou compacto.
R=(x, y) in R^2: x>0 e 1 <= y<2

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R = (x,y)inR^2 : x>0 e 1 <= y < 2
O conteúdo é topologia em R^2: vamos esboçar R, achar a fronteira partial R e classificar R como aberto, fechado, limitado e/ou compacto.

Passo 2

Descrição e esboço de R:
  • A condição x>0 é a meia-plano à direita do eixo y, sem incluir a reta x=0.
  • A condição 1<= y<2 é uma faixa horizontal entre as retas y=1 (incluída) e y=2 (não incluída).
    Logo, R é o “túnel” infinito à direita do eixo y, limitado por baixo pela reta sólida y=1 e por cima pela reta tracejada y=2.

Passo 3

Determinação da fronteira partial R:
  1. O fecho de R é
R = (x,y) : x>=0,;1<= y<=2
  1. O interior de R é
int(R) = (x,y) : x>0,;1<y<2
  1. A fronteira é partial R = Rsetminusint(R), ou seja
partial R = (x,y):x=0,;1<= y<=2 ;cup;(x,y):x>0,;y=1 ;cup;(x,y):x>=0,;y=2

Passo 4

Classificação de R:
  • Aberto? Não, porque os pontos em que y=1 pertencem a R mas não são pontos interiores.
  • Fechado? Não, pois não inclui a reta y=2 (pontos-limite de R que faltam).
  • Limitado? Não, pois se estende indefinidamente para xto+infty.
  • Compacto? Não, pois não é fechado nem limitado.

Resposta

Esboço: meia-plano x>0 entre y=1 (reta sólida) e y=2 (reta tracejada).
Fronteira:
partial R = (x,y):x=0,;1<= y<=2 ;cup;(x,y):x>0,;y=1 ;cup;(x,y):x>=0,;y=2
Classificação: R não é aberto, não é fechado, não é limitado e, portanto, não é compacto.

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