Seja a região no primeiro quadrante do plano limitada pelas retas , . Use a transformação com e para reescrever
como uma integral sobre a região apropriada do plano . Depois calcule a integral sobre .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRl(2x - y2r),dx,dy
onde R é o quadrilátero no primeiro quadrante limitado pelas retas y=0, y=4, y=2x-2 e y=2x. Vamos usar a transformação
x = u+v, y = 2v, u>0,;v>0
para reescrever a integral sobre uma nova região R' no plano uv e então avaliá-la. Precisaremos ( 1) do Jacobiano da transformação, ( 2) do integrando em termos de u,v e ( 3) dos limites de R'.

Passo 2

Calculamos o Jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y).
x = u+v, y = 2v
Logo a matriz de derivadas é
partial(x,y)partial(u,v) = partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = 1 & 1[3pt] 0 & 2
e o determinante (Jacobian) vale
J = det1&10&2 = 2
Portanto
dx,dy = l|Jr|,du,dv = 2,du,dv
]

Passo 3

O integrando 2x - y2 em termos de u,v fica
2x - y2 =2(u+v)-2v2 =2u2 = u
Assim a integral original se transforma em
integral duplaR 2x-y2,dx,dy = integral duplaR' u ,l(2,du,dvr) = 2integral duplaR' u,du,dv

Passo 4

Precisamos agora achar a regi~ao R' em (u,v). Cada fronteira de R vira:
- y=0 Rightarrow 2v=0 Rightarrow v=0.
- y=4 Rightarrow 2v=4 Rightarrow v=2.
- y=2x Rightarrow 2v = 2(u+v) Rightarrow u=0.
- y=2x-2 Rightarrow 2v = 2(u+v)-2 Rightarrow u=1.
Logo R' 'e o ret^angulo
0 <= u <= 1, 0 <= v <= 2

Passo 5

Montamos e calculamos a integral em R':
2integral duplaR' u,du,dv =2integralv=0^2!integralu=0^1u,du,dv =2integral0^2l[tfracu^22r]0^1dv =2integral0^212,dv =2cdot12cdot 2 =2

Resposta

O valor da integral é 2.

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