Seja a região no primeiro quadrante do plano limitada pelas retas , . Use a transformação com e para reescrever
como uma integral sobre a região apropriada do plano . Depois calcule a integral sobre .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde é o quadrilátero no primeiro quadrante limitado pelas retas , , e . Vamos usar a transformação
para reescrever a integral sobre uma nova região no plano e então avaliá-la. Precisaremos () do Jacobiano da transformação, () do integrando em termos de e () dos limites de .
Passo 2
Calculamos o Jacobiano da transformação .
Logo a matriz de derivadas é
e o determinante (Jacobian) vale
J = det1&10&2 = 2
Portanto
dx,dy = l|Jr|,du,dv = 2,du,dv
]
Passo 3
O integrando 2x - y2 em termos de u,v fica
2x - y2 =2(u+v)-2v2 =2u2 = u
Assim a integral original se transforma em
integral duplaR 2x-y2,dx,dy = integral duplaR' u ,l(2,du,dvr) = 2integral duplaR' u,du,dv
Passo 4
Precisamos agora achar a regi~ao R' em (u,v). Cada fronteira de R vira:
- y=0 Rightarrow 2v=0 Rightarrow v=0.
- y=4 Rightarrow 2v=4 Rightarrow v=2.
- y=2x Rightarrow 2v = 2(u+v) Rightarrow u=0.
- y=2x-2 Rightarrow 2v = 2(u+v)-2 Rightarrow u=1.
Logo R' 'e o ret^angulo