Esboce o conjunto R do plano R^2 e determine a fronteira em cada caso. Classifique se R é aberto, fechado, limitado ou compacto.
R=(x, y) in R^2:[0,1] times[1,2]

Passo 1

O enunciado define o conjunto
R = (x,y)inR^2 : xin[0,1],;yin[1,2],
pede (i) um esboço de R, (ii) a fronteira de R e (iii) classificar R como aberto, fechado, limitado ou compacto. O conteúdo aqui é topologia elementar em R^2: região fechada em bloco, fronteira, e critérios de aberto, fechado e compacidade.

Passo 2

O conjunto R é o retângulo fechado cujos vértices são (0,1), (1,1), (1,2) e (0,2). No plano xy, basta traçar as linhas horizontais y=1 e y=2 para xin[0,1] e as linhas verticais x=0 e x=1 para yin[1,2], preenchendo toda a região interna.

Passo 3

A fronteira partial R é o conjunto dos pontos em que qualquer vizinhança intercepta tanto R quanto o complemento de R. Aqui é exatamente a união dos quatro lados do retângulo:
partial R = (x,y): x=0,;yin[1,2] ;cup; (x,y): x=1,;yin[1,2] ;cup; (x,y): y=1,;xin[0,1] ;cup; (x,y): y=2,;xin[0,1]

Passo 4

Verificação de aberto e fechado:
– Aberto: um conjunto aberto não contém sua fronteira. Como partial R subset R, R não é aberto.
– Fechado: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite, i.e., se contém sua fronteira. Aqui partial R subset R, logo R é fechado.

Passo 5

Verificação de limitado e compacto:
– Limitado: R está contido no disco de raio raiz1^2+2^2=raiz5, logo é limitado.
– Compacto: no R^2, qualquer conjunto que seja fechado e limitado é compacto (Teorema de Heine–Borel). Como já vimos que R é fechado e limitado, conclui-se que R é compacto.

Resposta

O esboço de R é o retângulo fechado com vértices (0,1), (1,1), (1,2), (0,2).
A fronteira é a união dos quatro lados desse retângulo:
partial R =x=0,;yin[1,2]cupx=1,;yin[1,2]cupy=1,;xin[0,1]cupy=2,;xin[0,1]
R não é aberto, é fechado, é limitado e, por ser fechado e limitado em R^2, é compacto.

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