Esboce o conjunto
do plano
e determine a fronteira em cada caso. Classifique se
é aberto, fechado, limitado ou compacto.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
pede (i) um esboço de
, (ii) a fronteira de
e (iii) classificar
como aberto, fechado, limitado ou compacto. O conteúdo aqui é topologia elementar em
: região fechada em bloco, fronteira, e critérios de aberto, fechado e compacidade.
Passo 2
O conjunto
é o retângulo fechado cujos vértices são
,
,
e
. No plano
, basta traçar as linhas horizontais
e
para
e as linhas verticais
e
para
, preenchendo toda a região interna.
Passo 3
A fronteira
é o conjunto dos pontos em que qualquer vizinhança intercepta tanto
quanto o complemento de
. Aqui é exatamente a união dos quatro lados do retângulo:
Passo 4
Verificação de aberto e fechado:
– Aberto: um conjunto aberto não contém sua fronteira. Como ,
não é aberto.
– Fechado: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite, i.e., se contém sua fronteira. Aqui , logo
é fechado.
– Aberto: um conjunto aberto não contém sua fronteira. Como
– Fechado: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite, i.e., se contém sua fronteira. Aqui
Passo 5
Verificação de limitado e compacto:
– Limitado: está contido no disco de raio
, logo é limitado.
– Compacto: no , qualquer conjunto que seja fechado e limitado é compacto (Teorema de Heine–Borel). Como já vimos que
é fechado e limitado, conclui-se que
é compacto.
– Limitado:
– Compacto: no
Resposta
O esboço de
é o retângulo fechado com vértices
,
,
,
.
A fronteira é a união dos quatro lados desse retângulo:
A fronteira é a união dos quatro lados desse retângulo: