Seja
a função que descreve a posição
no instante
de uma onda com amplitude máxima
, número de onda
e frequência angular
. Mostre que a média temporal de
(intensidade) dentro de um período de oscilação
é igual a
, isto é,
. (Dica: considere
constante em relação a
.)
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
e pede a média temporal de
num período
.
Conteúdo: média de funções periódicas e identidade trigonométrica para .
Conteúdo: média de funções periódicas e identidade trigonométrica para
Passo 2
Escrevemos a média como
Passo 3
Usamos a identidade
Substituindo
na integral, temos
Passo 4
Separamos em dois termos:
O primeiro dá
O segundo é zero porque a integral de um cosseno com período inteiro se anula:
Passo 5
Logo
e portanto