Seja A(x, t)=A0 cos (k x-omega t) a função que descreve a posição x no instante t de uma onda com amplitude máxima A0, número de onda k e frequência angular omega. Mostre que a média temporal de |A(x, t)|^2 (intensidade) dentro de um período de oscilação T=2 pi / omega é igual a 12 A0^2, isto é, 1T integral0^T|A(x, t)|^2 d t=12 A0^2. (Dica: considere k x constante em relação a t.)

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
A(x,t)=A0cosl(kx-omega tr)
e pede a média temporal de lvert A(x,t)rvert^2 num período T=2pi/omega.
Conteúdo: média de funções periódicas e identidade trigonométrica para cos^2.

Passo 2

Escrevemos a média como
1Tintegral0^Tlvert A(x,t)rvert^2,dt =1Tintegral0^TA0^2cos^2l(kx-omega tr),dt =A0^2,1Tintegral0^Tcos^2l(kx-omega tr),dt

Passo 3

Usamos a identidade
cos^2u=1+cos(2u)2
Substituindo u=kx-omega t na integral, temos
1Tintegral0^Tcos^2l(kx-omega tr),dt =1Tintegral0^T1+cosl(2kx-2omega tr)2,dt

Passo 4

Separamos em dois termos:
1Tintegral0^T12,dt +1Tintegral0^Tcosl(2kx-2omega tr)2,dt
O primeiro dá
1Tcdot12integral0^Tdt =12
O segundo é zero porque a integral de um cosseno com período inteiro se anula:
integral0^Tcosl(2kx-2omega tr),dt =l[-sin(2kx-2omega t)2omegar]0^T=0

Passo 5

Logo
1Tintegral0^Tcos^2l(kx-omega tr),dt =12,
e portanto
1Tintegral0^Tlvert A(x,t)rvert^2,dt =A0^2times12 =12A0^2

Resposta

1Tintegral0^Tlvert A(x,t)rvert^2,dt =12,A0^2

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