Esboce a curva
x=cos 2 t, y=cos t, 0<t<pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x = cos(2t), y = cos t, 0 < t < pi
e pede um esboço. O conteúdo é curvas paramétricas e vamos precisar eliminar o parâmetro usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Usamos a identidade
cos(2t) = 2cos^2(t) - 1
Como cos t = y, substituímos em x e obtemos a equação cartesiana
x = 2y^2 - 1

Passo 3

Determine o intervalo de y. Para tin(0,pi), cos t varia decrescentemente de 1 até -1. Logo
-1 < y < 1

Passo 4

Concluímos que a curva é a parte da parábola
x = 2y^2 - 1
com -1<y<1. Os pontos extremos (limites) não são atingidos, mas quando tto0^+ temos (x,y)to(1,1), quando t=tfracpi2 temos (x,y)=(-1,0), e quando ttopi^- temos (x,y)to(1,-1). A orientação vai de (1,1) para (1,-1).

Passo 5

Para esboçar, note que
  • A vértice da parábola é (-1,0),
  • Ela abre para a direita e é simétrica em relação ao eixo x,
  • O ramo considerado vai de y=1 a y=-1.
Segue um desenho esquemático (eixo x horizontal, y vertical):
  y
  \uparrow
1bul<=tbul<=t ( 1,1)
\
\ |
bul<=t------ bul<=t------ to x
/ |
/ |
(- 1,0) bul<=t ( 1,- 1)
0

Resposta

A curva é a parte da parábola
x = 2y^2 - 1, -1 < y < 1,
traçada de (1,1) até (1,-1), passando por (-1,0).

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