Seja f uma função real continuamente difrenciável, isto é, f^prime é uma função contínua. Mostre que w=f(x^2-y^2) é solução da equação diferencial parcial y partial wpartial x+x partial wpartial y=0.

Passo 1

O enunciado define uma função ,f real de classe C^1, ou seja, f' é contínua, e pede para mostrarmos que a função
w(x,y) ;=; fl(x^2 - y^2r)
satisfaz a equação diferencial parcial
y ,partial wpartial x ;+; x ,partial wpartial y ;=; 0
Vamos usar a regra da cadeia para calcular partial w/partial x e partial w/partial y e depois verificar a identidade.

Passo 2

Defina u = x^2 - y^2. Então w(x,y) = f(u). Pela regra da cadeia,
partial wpartial x = f'(u),partial upartial x
Como
partial upartial x = partialpartial x(x^2 - y^2) = 2x,
segue que
partial wpartial x = 2x,f'l(x^2 - y^2r)

Passo 3

De modo análogo,
partial wpartial y = f'(u),partial upartial y,
e
partial upartial y = partialpartial y(x^2 - y^2) = -2y
Portanto,
partial wpartial y = -2y,f'l(x^2 - y^2r)

Passo 4

Substituindo em y,wx + x,wy obtemos
yl(2x,f'(x^2 - y^2)r) ;+; xl(-2y,f'(x^2 - y^2)r) = 2xy,f'(x^2 - y^2) - 2xy,f'(x^2 - y^2) =0
Logo, a soma é zero identicamente.

Resposta

Como mostramos acima,
y,partial wpartial x + x,partial wpartial y = 0,
portanto w=f(x^2 - y^2) é solução da equação diferencial parcial proposta.

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