Esboce a curva dada por equaçōes paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
e pede duas coisas: eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana e esboçar a curva. Isso envolve usar álgebra para escrever uma relação entre
e
sem
e depois reconhecer que tipo de cônica obtemos (aqui será uma hipérbole) para desenhá-la.
Passo 2
Vamos combinar
e
de modo a eliminar
. Note que
logo
E também
Substituindo
em
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
, vem
Passo 3
A relação
é a equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem, com eixos principais ao longo de
e
.
- Vértices:
, pois basta anular . - Assíntotas: obtêm-se fazendo o termo constante zero, ou seja
, daí
Passo 4
Para esboçar, basta desenhar a hipérbole com ramos abertos para a direita e para a esquerda, passando por
e
, e cujas assíntotas são as retas
e
. O ramo para
fica no quadrante I indo de
para infinito entre as assíntotas, e aquele para
fica simetricamente no quadrante III.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
que representa uma hipérbole de vértices
e assíntotas
.