Esboce a curva dada por equaçōes paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=t+94 t, y=t-94 t

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x = t + 94t, y = t - 94t,
e pede duas coisas: eliminar o parâmetro para achar a equação cartesiana e esboçar a curva. Isso envolve usar álgebra para escrever uma relação entre x e y sem t e depois reconhecer que tipo de cônica obtemos (aqui será uma hipérbole) para desenhá-la.

Passo 2

Vamos combinar x e y de modo a eliminar t. Note que
x + y = l(t + tfrac94tr) + l(t - tfrac94tr) = 2t,
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t = x + y2
E também
x - y = l(t + tfrac94tr) - l(t - tfrac94tr) = 2;94t = 92t
Substituindo t = tfracx+y2 em x - y = tfrac92t, obtemos
x - y = 92,(x+y)/2 = 9x+y
Multiplicando ambos os lados por (x+y), vem
(x - y)(x + y) = 9 Longrightarrow x^2 - y^2 = 9

Passo 3

A relação
x^2 - y^2 = 9
é a equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem, com eixos principais ao longo de x e y.
  • Vértices: (pm 3, 0), pois basta anular y.
  • Assíntotas: obtêm-se fazendo o termo constante zero, ou seja x^2 - y^2=0, daí
y = pm x

Passo 4

Para esboçar, basta desenhar a hipérbole com ramos abertos para a direita e para a esquerda, passando por (3,0) e (-3,0), e cujas assíntotas são as retas y=x e y=-x. O ramo para t>0 fica no quadrante I indo de (3,0) para infinito entre as assíntotas, e aquele para t<0 fica simetricamente no quadrante III.

Resposta

A equação cartesiana da curva é
x^2 - y^2 = 9,
que representa uma hipérbole de vértices (pm3,0) e assíntotas y=pm x.

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