Esboce a curva definida pela função vetorial vec{r}(t).
vec{r}(t)=\left(3, t, 2-t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
\vec r(t) = \bigl(3,\;t,\;2 - t^2\bigr),
que é um caso de curva em \mathbb{R}^3. Para desenhar, vamos entender sua geometria: em que plano ela vive e qual é a relação entre y e z.

Passo 2

Observe que a primeira coordenada é constante:
x(t) = 3\quad\forall t.
Logo, toda a curva está contida no plano
x = 3.

Passo 3

Da parametrização temos
y(t) = t, \qquad z(t) = 2 - t^2.
Eliminando o parâmetro t usando t = y, obtemos a equação cartesiana da curva no plano x=3:
z = 2 - y^2.

Passo 4

A equação z = 2 - y^2 é uma parábola com vértice em (y,z) = (0,2) que abre para baixo (no eixo z). No espaço, em 3D, isso se traduz numa parábola situada no plano x=3, com vértice no ponto (3,0,2) e “boca” voltada para valores menores de z à medida que \lvert y\rvert cresce.

Resposta

A curva é a parábola de equação
\begin{cases} x = 3,\\\ z = 2 - y^2, \end{cases}
no plano x=3, com vértice em (3,0,2) e aberta para baixo ao longo do eixo z.

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