Esboce a curva definida pela função vetorial vec{r}(t).
vec{r}(t)=(t, 2-t, 2 t)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada pela função vetorial
\vec r(t) = (t,\;2 - t,\;2t)
Isso pertence ao conteúdo de curvas paramétricas em \mathbb{R}^3. Para desenhar, vamos reconhecer que se trata de uma reta e obter seu vetor direção e alguns pontos.

Passo 2

Calculemos a derivada, que nos dá o vetor direção da curva:
\vec r\,'(t) = \bigl(1,\,-1,\,2\bigr).
Como \vec r\,'(t) é constante, a curva é de fato uma reta de direção \bigl(1,-1,2\bigr).

Passo 3

Escolhemos valores simples de t para obter pontos:
\begin{aligned} t=0&\implies \vec r(0)=(0,\,2,\,0),\\\ t=1&\implies \vec r(1)=(1,\,1,\,2),\\\ t=2&\implies \vec r(2)=(2,\,0,\,4). \end{aligned}
Esses três pontos estão colineares e dão a “linha guia” para o esboço.

Passo 4

No sistema de eixos x, y, z:
  1. Marque A=(0,2,0) sobre o eixo y.
  2. Marque B=(1,1,2), deslocando 1 em x, -1 em y e +2 em z.
  3. Marque C=(2,0,4) de forma análoga.
    Depois, una A, B e C com uma linha reta, prolongando-a nos dois sentidos.

Passo 5

Em notação de reta contínua, a curva pode ser escrita também como
\frac{x-0}{1} \;=\;\frac{y-2}{-1}\;=\;\frac{z-0}{2}.
Isso confirma que é uma reta que passa por (0,2,0) com direção (1,-1,2).

Resposta

A curva é uma reta passando por (0,2,0) de vetor direção (1,-1,2), cujo esboço liga os pontos (0,2,0), (1,1,2) e (2,0,4).

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