Esboce a curva definida pela função vetorial vec{r}(t).
vec{r}(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t), t)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica em \mathbb{R}^3 dada por
\vec{r}(t) = \bigl(2\cos(t),\,2\operatorname{sen}(t),\,t\bigr),
para t\in\mathbb{R}. O conteúdo aqui é curvas no espaço e, em particular, hélices circulares. Para desenhar, vamos estudar separadamente a projeção no plano xy e o comportamento ao longo do eixo z.

Passo 2

Analisando a projeção no plano xy, extraímos
(x(t),y(t)) = \bigl(2\cos(t),\,2\operatorname{sen}(t)\bigr).
Isso satisfaz
x^2+y^2 = \bigl(2\cos(t)\bigr)^2 + \bigl(2\operatorname{sen}(t)\bigr)^2 = 4\bigl(\cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)\bigr) = 4.
Logo, a projeção é um círculo de raio 2 no plano xy, centrado na origem.

Passo 3

O componente vertical é
z(t)=t,
que cresce de forma linear com t. Assim, à medida que o ponto percorre o círculo no plano xy, ele sobe (ou desce, para t<0) ao longo do eixo z.

Passo 4

Combinando a rotação circular em xy e o avanço uniforme em z, a curva é uma hélice circular de raio 2. Cada volta completa ocorre quando t varia em 2\pi, elevando o ponto em \Delta z = 2\pi. Esse valor \Delta z é chamado de passo (pitch) da hélice.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe o cilindro circular de raio 2 centrado no eixo z.
  2. Marque alguns valores de t, por exemplo t=0 (ponto (2,0,0)), t=\tfrac{\pi}{2} (ponto (0,2,\tfrac{\pi}{2})), t=\pi (ponto (-2,0,\pi)), e assim por diante.
  3. Una esses pontos por um traço suave, observando que, visto de cima (projeção no plano xy), o sentido é anti-horário conforme t aumenta, e simultaneamente o ponto sobe no eixo z.

Resposta

A curva é uma hélice circular de raio 2 em torno do eixo z, subindo a uma taxa unitária em z. Cada volta (quando t vai de 0 a 2\pi) corresponde a um deslocamento vertical de 2\pi.

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