Questão 7. Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=2}^{\infty} definida por
a_{n}=\frac{n^{2} \operatorname{sen}(1 / n)}{n^{2}-1}, \quad n \geq 2 .
Indique a alternativa CORRETA.
A é divergente, pois tem um padrão oscilatório.
\triangle converge para um número menor ou igual a -1 .
I converge para zero.
D converge para um número maior ou igual a 1 .
E Nenhuma das outras alternativas é correta.
F é divergente, pois é ilimitada.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{2}\sin\bigl(1/n\bigr)}{n^{2}-1}, \quad n\ge2,
e pede para identificar qual alternativa descreve seu comportamento. O conteúdo principal aqui é cálculo de limite de sequência usando equivalências para funções trigonométricas em pontos pequenos.

Passo 2

Para n\to\infty, temos 1/n\to0. Usa-se a equivalência clássica
\sin x\sim x \quad\text{quando }x\to0,
ou seja,
\sin\bigl(1/n\bigr)\sim\frac{1}{n}.

Passo 3

Substituindo na expressão de a_{n}, obtemos para n grande
a_{n} \sim \frac{n^{2}\cdot(1/n)}{n^{2}-1} = \frac{n}{n^{2}-1} = \frac{1}{n\,(1-1/n^{2})} \sim \frac{1}{n}.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 4

Como \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, a sequência é convergente e converge para zero. A alternativa correta é
I converge para zero.

Resposta

I converge para zero.

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