Questão 8. Considere a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} cujo termo geral é dado por
a_{n}=\frac{(-1)^{n} n!}{n^{n}} .
É verdadeiro dizer sobre a sequência:
converge para 0 pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n}+1}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}<1
B oscila entre -\frac{1}{e} e \frac{1}{e}
C \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n}+1}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}>0
D \left|a_{n}\right| \rightarrow+\infty pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=e>0
E é convergente pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=e \neq 0
(1) converge para \frac{1}{e} pois \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\frac{1}{e}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n} = \frac{(-1)^{n}\,n!}{n^{n}}
e pergunta qual das afirmativas sobre convergência ou oscilação é correta. O conteúdo principal é estudar o limite de \{a_n\} usando o critério da razão aplicado a sequências, isto é, analisar \lim_{n\to+\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigr|.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre módulos de termos consecutivos:
\biggl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\biggr| = \frac{(n+1)!/(n+1)^{\,n+1}}{n! / n^n} = \frac{(n+1)\,n^n}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n}.
Agora tomamos o limite:
\lim_{n\to+\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n} = \lim_{n\to+\infty}\Bigl(1 - \tfrac1{n+1}\Bigr)^{\!n} = \frac{1}{e}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to+\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigr| = \frac1e < 1,
pelo critério da razão para sequências segue que \lvert a_n\rvert \to 0. Logo \;a_n\to 0.

Resposta

A

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