Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação
com
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A relação entre as coordenadas polares é
. - O parâmetro angular
varia em .
Passo 2
Primeiro, lembro rapidamente o que são coordenadas polares e como transformar para Cartesiano (útil para esboçar):
- Em coordenadas polares um ponto é dado por
, onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo positivo. - As fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas são
Aqui todas as ocorrências de
,
,
,
estão em TeX para ficar certinho.
Passo 3
Aplicando a equação
nas fórmulas cartesianas, obtemos as equações paramétricas da curva (com parâmetro
):
com
. Essas fórmulas dizem exatamente onde cada ângulo
coloca o ponto no plano — útil para calcular pontos de referência a mão.
Passo 4
Calcule alguns pontos chave para guiar o esboço (faça esses cálculos na prova para posicionar pontos):
-
: → ponto (origem). -
: . Então
Ponto aproximadamente
.
-
: . Então
Ponto aproximadamente
.
-
: . Então
-
: . Então
Esses pontos mostram que a curva parte da origem e, ao completar uma volta (
), o raio aumentou em
.
Passo 5
Interprete o que estes pontos e as equações paramétricas nos dizem sobre a forma da curva:
- A curva é uma espiral que parte da origem e vai enrolando-se para fora à medida que
aumenta. - A cada volta completa, quando
aumenta de , o raio aumenta em
Ou seja, as voltas têm afastamento radial constante entre si — característica da espiral de Arquimedes (caso geral
; aqui
,
).
- O sentido de varredura: se
cresce positivamente, o movimento é anti-horário (no sentido usual positivo de ângulos).
Passo 6
Como esboçar passo a passo na prova (dicas práticas, bem mão na massa):
- Desenhe alguns raios a partir da origem para ângulos como
, , , , . - Em cada raio marque a distância
medida na mesma escala escolhida (por exemplo, 1 unidade no desenho = do ). Use os valores calculados no Passo 4 para posicionar pontos exatos. - Repita para ângulos intermediários (ex.:
, etc.) se quiser mais precisão. - Una esses pontos suavemente seguindo a tendência de enrolar — a curva não tem cantos, é contínua e gira em volta do origem.
- Observe que as voltas ficam igualmente espaçadas radialmente, então depois de algumas voltas verá um padrão regular de “espiral” com afastamento
.
Passo 7
Propriedades úteis para comentar na prova:
- Tipo de curva: espiral de Arquimedes (caso especial
). - Monotonicidade:
, logo cresce estritamente com (nunca volta para mais perto do centro). - Comportamento no infinito:
; a curva dá infinitas voltas afastando-se indefinidamente. - Simetria: não há simetrias simples de reflexão (por exemplo a curva não é simétrica em relação ao eixo
ou ), mas há a periodicidade direcional: quando se acrescenta ao ângulo a direção repete e o raio soma .
Passo 8
Resumo prático final do esboço (o que deve aparecer no desenho entregue):
- Um traço que começa no origem
, enrola-se anti-horariamente, passando por pontos aproximados , , , , … e assim por diante, ampliando-se com afastamento radial entre voltas igual a .
Resposta
A curva é a espiral de Arquimedes
para
: começa em
, gira no sentido anti-horário afastando-se linearmente do centro, com separação radial constante entre voltas igual a
.