Esboce a curva descrita por cada uma das seguintes equações em coordenadas polares.
r=\theta, \quad \theta \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada em coordenadas polares pela equação r=\theta com \theta\ge 0.
Informações fornecidas:
  • A relação entre as coordenadas polares é r=\theta.
  • O parâmetro angular \theta varia em [0,\infty).

Passo 2

Primeiro, lembro rapidamente o que são coordenadas polares e como transformar para Cartesiano (útil para esboçar):
  • Em coordenadas polares um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • As fórmulas de conversão para coordenadas cartesianas são
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta.
Aqui todas as ocorrências de r, \theta, x, y estão em TeX para ficar certinho.

Passo 3

Aplicando a equação r=\theta nas fórmulas cartesianas, obtemos as equações paramétricas da curva (com parâmetro \theta):
x(\theta)=\theta\cos\theta,
y(\theta)=\theta\sin\theta,
com \theta\ge 0. Essas fórmulas dizem exatamente onde cada ângulo \theta coloca o ponto no plano — útil para calcular pontos de referência a mão.

Passo 4

Calcule alguns pontos chave para guiar o esboço (faça esses cálculos na prova para posicionar pontos):
  • \theta=0: r=0 → ponto (0,0) (origem).
  • \theta=\dfrac{\pi}{2}: r=\dfrac{\pi}{2}. Então
x= \dfrac{\pi}{2}\cos\!\dfrac{\pi}{2}=0,\qquad y=\dfrac{\pi}{2}\sin\!\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}.
Ponto aproximadamente (0,\;1{,}57).
  • \theta=\pi: r=\pi. Então
x=\pi\cos\pi=-\pi,\qquad y=\pi\sin\pi=0.
Ponto aproximadamente (-3{,}14,\;0).
  • \theta=\dfrac{3\pi}{2}: r=\dfrac{3\pi}{2}. Então
x=0,\qquad y=-\dfrac{3\pi}{2}\approx -4{,}71.
  • \theta=2\pi: r=2\pi. Então
x=2\pi\cos 0=2\pi\approx 6{,}28,\qquad y=0.
Esses pontos mostram que a curva parte da origem e, ao completar uma volta ( \Delta\theta=2\pi), o raio aumentou em 2\pi.

Passo 5

Interprete o que estes pontos e as equações paramétricas nos dizem sobre a forma da curva:
  • A curva é uma espiral que parte da origem e vai enrolando-se para fora à medida que \theta aumenta.
  • A cada volta completa, quando \theta aumenta de 2\pi, o raio aumenta em
\Delta r = 1\cdot 2\pi = 2\pi.
Ou seja, as voltas têm afastamento radial constante entre si — característica da espiral de Arquimedes (caso geral r=a+b\theta; aqui a=0, b=1).
  • O sentido de varredura: se \theta cresce positivamente, o movimento é anti-horário (no sentido usual positivo de ângulos).

Passo 6

Como esboçar passo a passo na prova (dicas práticas, bem mão na massa):
  1. Desenhe alguns raios a partir da origem para ângulos como 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}, 2\pi.
  2. Em cada raio marque a distância r=\theta medida na mesma escala escolhida (por exemplo, 1 unidade no desenho = 1 do r). Use os valores calculados no Passo 4 para posicionar pontos exatos.
  3. Repita para ângulos intermediários (ex.: \tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}, etc.) se quiser mais precisão.
  4. Una esses pontos suavemente seguindo a tendência de enrolar — a curva não tem cantos, é contínua e gira em volta do origem.
  5. Observe que as voltas ficam igualmente espaçadas radialmente, então depois de algumas voltas verá um padrão regular de “espiral” com afastamento 2\pi.

Passo 7

Propriedades úteis para comentar na prova:
  • Tipo de curva: espiral de Arquimedes (caso especial r=\theta).
  • Monotonicidade: r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta}=1>0, logo r cresce estritamente com \theta (nunca volta para mais perto do centro).
  • Comportamento no infinito: \displaystyle \lim_{\theta\to\infty} r(\theta)=\infty; a curva dá infinitas voltas afastando-se indefinidamente.
  • Simetria: não há simetrias simples de reflexão (por exemplo a curva não é simétrica em relação ao eixo x ou y), mas há a periodicidade direcional: quando se acrescenta 2\pi ao ângulo a direção repete e o raio soma 2\pi.

Passo 8

Resumo prático final do esboço (o que deve aparecer no desenho entregue):
  • Um traço que começa no origem (0,0), enrola-se anti-horariamente, passando por pontos aproximados (0,1{,}57), (-3{,}14,0), (0,-4{,}71), (6{,}28,0), … e assim por diante, ampliando-se com afastamento radial entre voltas igual a 2\pi.

Resposta

A curva é a espiral de Arquimedes r=\theta para \theta\ge 0: começa em (0,0), gira no sentido anti-horário afastando-se linearmente do centro, com separação radial constante entre voltas igual a 2\pi.

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