Verificar se as retas seguintes são capazes de definir um único plano, e em caso afirmativo, deduzir a equaçâo analítica de tal plano.
® OX(t)=(2+3t -3-5t 1+t), t in R.
(l) OY(s)=(5+2s,-8-3s, 2-2s) s in R

Passo 1

Beleza, então a gente tem duas retas no espaço e precisamos ver se elas conseguem formar um único plano. Se sim, a gente também vai descobrir a equação desse plano. Aqui, vamos precisar entender sobre vetores, retas no espaço e como encontrar a equação de um plano usando esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. Olhando as equações paramétricas:
Para a reta ®: OX(t) = (2 + 3t, -3 - 5t, 1 + t)
O vetor diretor é (3, -5, 1).
Para a reta (l): OY(s) = (5 + 2s, -8 - 3s, 2 - 2s)
O vetor diretor é (2, -3, -2).

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses dois vetores diretores são paralelos ou não paralelos. Se eles não são paralelos, as retas vão estar em um único plano. Para isso, vamos ver se um vetor é múltiplo do outro.
Vamos comparar:
(3, -5, 1) e (2, -3, -2)
Como 3 não é múltiplo de 2, e as outras componentes também não seguem uma mesma proporção, concluímos que os vetores não são paralelos.

Passo 4

Como os vetores diretores não são paralelos, as retas ® e (l) não são paralelas e vão determinar um único plano. Agora, vamos encontrar a equação desse plano.

Passo 5

Para achar a equação do plano, precisamos de um ponto que esteja no plano e de um vetor normal ao plano. Vamos usar os pontos das retas e os vetores diretores.
Vamos pegar o ponto da reta ® quando t = 0: (2, -3, 1).
E o vetor diretor da reta ®: (3, -5, 1).
E o vetor diretor da reta (l): (2, -3, -2).

Passo 6

Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores das retas, pois ele será perpendicular a ambos.
Calculando o produto vetorial:
i & j & k 3 & -5 & 1 2 & -3 & -2 = i((-5)(-2) - (1)(-3)) - j((3)(-2) - (1)(2)) + k((3)(-3) - (-5)(2))
Simplificando:
i(10 + 3) - j(-6 - 2) + k(-9 + 10)
i(13) - j(-8) + k(1)
n = (13, 8, 1)

Passo 7

Agora que temos o vetor normal n = (13, 8, 1) e um ponto no plano (2, -3, 1), podemos usar a fórmula da equação do plano:
13(x - 2) + 8(y + 3) + 1(z - 1) = 0

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
13x - 26 + 8y + 24 + z - 1 = 0
13x + 8y + z - 3 = 0

Resposta

As retas ® e (l) definem um único plano cuja equação analítica é 13x + 8y + z - 3 = 0.

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