Esboce a curva e determine a equação cartesiana das funções vetoriais
a) alpha(t)=(1-t, 2-2 t), t in R

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
alpha(t) = (1 - t,;2 - 2t) para tinR
e pede dois pontos: esboçar essa curva no plano e encontrar sua equação cartesiana.
Aqui o conteúdo é converter uma curva parametrizada em sua forma cartesiana e identificar que tipo de curva se trata.

Passo 2

Escrevendo as componentes como funções de t:
x(t)=1-t, y(t)=2-2t
Para eliminar o parâmetro t, basta isolar t em uma das equações; por exemplo em x(t):
x=1-t Longrightarrow t=1-x

Passo 3

Substituindo t=1-x em y(t):
y = 2 - 2,t = 2 - 2,(1 - x) = 2 - 2 + 2x = 2x
Logo a equação cartesiana é
y = 2x

Passo 4

Para esboçar, note que se t=0 temos alpha(0)=(1,2), se t=1 temos alpha(1)=(0,0), e se t=2 temos alpha(2)=(-1,-2). Esses pontos estão sobre a reta de inclinação 2. A direção da curva vem do vetor
alpha'(t)=(-1,-2),
ou seja, conforme t aumenta, o ponto se move para baixo e à esquerda ao longo da reta y=2x. No esboço, desenhe a reta passando por (0,0) e (1,2) e indique a seta apontando em direção a (0,0)to(-1,-2).

Resposta

A equação cartesiana é
y = 2x,
e o esboço é a reta de inclinação 2 passando por (1,2), (0,0), (-1,-2) com seta apontando para baixo e à esquerda.

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