lim x 1((x-1) sin (1x-1))

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 1((x-1) sin (1x-1)). Esse problema está relacionado ao conceito de limites na matemática, especificamente envolvendo funções trigonométricas e propriedades de limites. Para resolver, vamos utilizar a substituição de variáveis e aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Vamos definir $ h = x - 1 $. Quando $ x $ se aproxima de 1, $ h $ se aproxima de 0. Substituindo na expressão original, temos:
h = x - 1

Passo 3

Agora, analisamos a expressão $ \sin\left(\frac{1}{h}\right) $. Sabemos que a função seno sempre está limitada entre -1 e 1, ou seja:
sin(1h)

Passo 4

Multiplicando todos os termos por $ h $ (que tende a 0), temos:
h
Isso porque $ h $ pode ser positivo ou negativo, mas $ |h| $ garante que os limites sejam não negativos.

Passo 5

Sabemos que:
limh to 0 -,|h| = 0 e limh to 0 |h| = 0

Passo 6

Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função no meio também tem esse limite. Aplicando isso aqui:
limh to 0 ( h cdot sin(1h) ) = 0

Resposta

O limite é 0.

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