Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao conceito de limites na matemática, especificamente envolvendo funções trigonométricas e propriedades de limites. Para resolver, vamos utilizar a substituição de variáveis e aplicar o Teorema do Sanduíche.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão fazendo uma substituição. Vamos definir $ h = x - 1 $. Quando $ x $ se aproxima de 1, $ h $ se aproxima de 0. Substituindo na expressão original, temos:
Passo 3
Agora, analisamos a expressão $ \sin\left(\frac{1}{h}\right) $. Sabemos que a função seno sempre está limitada entre -1 e 1, ou seja:
Passo 4
Multiplicando todos os termos por $ h $ (que tende a 0), temos:
Isso porque $ h $ pode ser positivo ou negativo, mas $ |h| $ garante que os limites sejam não negativos.
Passo 5
Sabemos que:
Passo 6
Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então a função no meio também tem esse limite. Aplicando isso aqui:
Resposta
O limite é 0.