Prove que um polinômio é uma função contínua em todo ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer polinômio
é contínuo em todo ponto
. O conteúdo é continuidade de funções reais e usaremos as propriedades de soma, produto e composição de funções contínuas.
Passo 2
Mostramos que as funções mais simples são contínuas:
- A função constante
é contínua porque para todo . - A função identidade
é contínua pelo fato de
Passo 3
Usamos que se
e
são contínuas em
, então
e
são contínuas em
. Em particular, a partir de
contínua obtemos
contínua para todo inteiro
(aplicando produto de
consigo mesma
vezes).
Passo 4
Como cada monômio
é o produto da constante
(contínua) por
(contínua), concluímos que
é contínua. Finalmente, o polinômio
é soma de funções contínuas, logo é contínuo em
. Como
era arbitrário,
é contínuo em todo ponto de
.
Resposta
Qualquer polinômio
é contínuo em todos os
.