Prove que um polinômio é uma função contínua em todo ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer polinômio
P(x)=anx^n+an-1x^n-1+cdots+a1x+a0
é contínuo em todo ponto x0inR. O conteúdo é continuidade de funções reais e usaremos as propriedades de soma, produto e composição de funções contínuas.

Passo 2

Mostramos que as funções mais simples são contínuas:
  1. A função constante f(x)=a0 é contínua porque f(x)-f(x0)=0 para todo x.
  2. A função identidade g(x)=x é contínua pelo fato de
limxto x0g(x)=limxto x0x=x0=g(x0)

Passo 3

Usamos que se f e h são contínuas em x0, então f+h e fcdot h são contínuas em x0. Em particular, a partir de g(x)=x contínua obtemos g(x)^k=x^k contínua para todo inteiro k>=1 (aplicando produto de g consigo mesma k vezes).

Passo 4

Como cada monômio akx^k é o produto da constante ak (contínua) por x^k (contínua), concluímos que akx^k é contínua. Finalmente, o polinômio
P(x)=sumk=0^nakx^k
é soma de funções contínuas, logo é contínuo em x0. Como x0 era arbitrário, P é contínuo em todo ponto de R.

Resposta

Qualquer polinômio P(x)=anx^n+cdots+a1x+a0 é contínuo em todos os xinR.

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