Nos Exercícios, encontre o volume do paralelepípedo de arestas u, v e w.
(a) u=(2,-6,2), v=(0,4,-2), w=(2,2,-4)
(b) u=(3,1,2), v=(4,5,1), w=(1,2,4)

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w em R^3. O conteúdo principal é o produto escalar triplo, que coincide com o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas desses vetores. Logo,
volume = l|det[u;v;w]r|

Passo 2

Para o item (a), formamos a matriz cujas colunas são u=(2,-6,2), v=(0,4,-2) e w=(2,2,-4):
Ma = 2 & 0 & 2 -6 & 4 & 2 2 & -2 & -4
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det Ma =2l(4cdot(-4)-2cdot(-2)r) -0l((-6)cdot(-4)-2cdot2r) +2l((-6)cdot(-2)-4cdot2r) =-16
Portanto, o volume é
l|det Mar| = 16

Passo 3

Para o item (b), montamos a matriz com u=(3,1,2), v=(4,5,1) e w=(1,2,4):
Mb = 3 & 4 & 1 1 & 5 & 2 2 & 1 & 4
Expansão na primeira linha:
det Mb =3l(5cdot4-2cdot1r) -4l(1cdot4-2cdot1r) +1l(1cdot1-5cdot2r) =45
Logo, o volume é
l|det Mbr| = 45

Resposta

(a) 16
(b) 45

Exercícios relacionados