Nos Exercícios, encontre o volume do paralelepípedo de arestas .
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores , e em . O conteúdo principal é o produto escalar triplo, que coincide com o determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas desses vetores. Logo,
Passo 2
Para o item (a), formamos a matriz cujas colunas são u=(2,-6,2), v=(0,4,-2) e w=(2,2,-4):
Ma = 2 & 0 & 2 -6 & 4 & 2 2 & -2 & -4
Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det Ma =2l(4cdot(-4)-2cdot(-2)r) -0l((-6)cdot(-4)-2cdot2r) +2l((-6)cdot(-2)-4cdot2r) =-16
Portanto, o volume é
l|det Mar| = 16
Passo 3
Para o item (b), montamos a matriz com u=(3,1,2), v=(4,5,1) e w=(1,2,4):
Mb = 3 & 4 & 1 1 & 5 & 2 2 & 1 & 4
Expansão na primeira linha:
det Mb =3l(5cdot4-2cdot1r) -4l(1cdot4-2cdot1r) +1l(1cdot1-5cdot2r) =45