Uma partícula se move com função posição dada por r(t)=(t ln (t), t, e^-t). Determine a função vetorial da velocidade, a velocidade escalar e a função aceleração vetorial da partícula.

Passo 1

O enunciado dá a função posição
r(t)=l(tln t,;t,;e^-tr)
e pede (1) a velocidade vetorial v(t), (2) a velocidade escalar | v(t)| e (3) a aceleração vetorial a(t). Vamos precisar usar regra do produto, derivada de logaritmo e derivada de exponencial.

Passo 2

Para obter a velocidade vetorial v(t)= r'(t) derivamos cada componente:
– Com regra do produto,
ddtl(tln tr)=1cdotln t + tcdot1t=ln t+1
ddt(t)=1
ddt(e^-t)=-e^-t
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v(t)=l(ln t+1,;1,;-e^-tr)

Passo 3

A velocidade escalar é o módulo de v(t):
| v(t)| =raiz(ln t+1)^2 + 1^2 + (-e^-t)^2 =raiz(ln t+1)^2 + 1 + e^-2t

Passo 4

A aceleração vetorial é a(t)= v'(t). Derivando cada componente de v(t):
ddt(ln t+1)=1/t
ddt(1)=0
ddt(-e^-t)=e^-t
Portanto
a(t)=l(1/t,;0,;e^-tr)

Resposta

v(t)=l(ln t+1,;1,;-e^-tr)
| v(t)|=raiz(ln t+1)^2 ;+;1;+;e^-2t
a(t)=l(1/t,;0,;e^-tr)

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